2) Если случайная величина , то найдется последовательность простых случайных величин таких, что для всех .

Доказательство. Начнем с пункта 2). Положим , и

непосредственной проверкой, устанавливается, что для всех . Отсюда следует и доказательство пункта 1) так как можно представить в виде , где .

Определение. Пусть - случайная величина. Пусть множества из вида , (R¹) . Наименьшую -алгебру порожденную такими множествами называют -алгеброй, порожденной случайной величиной и обозначают ее через F^.

Если - борелевская функция, то из леммы 9 следует, что - случайная величина, причем F^ - измерима. Оказывается, справедливо и обратное утверждение.

Теорема 12. (Бореля). Пусть –измеримая случайная величина. Тогда найдется борелевская функция : R¹ R¹ такая, что , т.е. для каждого .

9. Случайный элемент. Примеры случайных элементов. Определение случайного процесса. Независимые случайные элементы.

Определение. Пусть ( ,F) и (E,) - измеримые пространства. определенная на принимающая значения в E называется F/ –измеримой функцией или случайным элементом (со значениями в E  F). (3)

Примеры случайных элементов:

1) Если (E,) = (R¹,(R¹)), то определение случайного элемента совпадает с определением случайной величины.

2) Пусть (E,) = ( Rⁿ,(Rⁿ)). Тогда случайный элемент называется n - мерным случайным вектором. Если - проекция Rⁿ на -ую координату, то = , где . Ясно, что - обычные случайные величины. Действительно, для (R¹) R¹,.., R¹, R¹ R¹}= (R¹ R¹ R¹ R¹) F.

Определение. Упорядоченый набор случайных величин будет называться - мерным случайным вектором.

В соответствии с этим определением всякий случайный элемент со значениями в Rⁿ будет - мерным случайным вектором. Справедливо обратное утверждение: всякий n- мерный случайный вектор = есть случайный элемент в Rⁿ. Действительно, если (R¹), , то F, то наименьшая -алгебра, порожденная всеми совпадает с (Rⁿ). поэтому для (Rⁿ) F.

3) Пусть (E,) = (R^Т,(R^Т)), Т – подмножество числовой прямой. В этом случае всякий случайный элемент представим в виде с называется случайной функцией с временным интервалом Т.

Определение. Пусть R¹. Совокупность называется случайным процессом с временным интервалом Т. Если , то - называется случайным процессом с дискретным временем или случайной последовательностью. Если , то - называется случайным процессом с непрерывным временем.

Определение. Пусть - случайный процесс. Для каждого функция - называется реализацией или траекторией процесса, соответствующего исходу .

Определение. Пусть - случайный процесс. Вероятностная мера Р на (R^Т,(R^Т)) с P P , (R^Т) называется распределением вероятностей процесса Х.

Определение. Вероятностная мера P P , где (Rⁿ), , называется конечномерными распределениями вероятностей случайного процесса , а n-мерная функция распределения , где , называется конечномерными функциями распределения процесса .

Определение. Пусть ( ,F,P) - вероятностное пространство и набор (  ) - измеримых пространств, где - произвольное множество. Будем говорить, что - измеримые функции независимы в совокупности, если для любого конечного набора элементы - независимы, т.е. для P P .