53. Интеграл Римана-Стильтеса (определение) и его свойства (теорема 96).

Для формулировки дальнейших результатов нам понадобится конструкция интеграла Римана - Стилтьеса. Напомним ее. Пусть - непрерывная слева функция, а - непрерывная справа функция ограниченной вариации. Пусть - разбиение отрезка [0,T], т. е. , причём при . Составим интегральную сумму . Если при

эта сумма стремится к некоторому пределу, не зависящему от выбора способа разбиения отрезка [0,T], то этот предел называется интегралом Римана - Стилтьеса функции  по функции ограниченной вариации  и обозначается символом . Очевидно следующее утверждение.

Теорема 96. Если - предсказуемая функция на [0,T], а , то интеграл Римана - Стилтьеса существует.

Приведём без доказательства ряд свойств этого интеграла:

1) ;

2) если , где , то ;

3) если , где - предсказуемые функции, а , то ;

4) .

54. Формула Ито. Вычислите стохастический интеграл

Теорема 97. Пусть - измеримая ограниченная функция, a - считающий процесс. Тогда P - п. н.

, (4)

где интеграл, стоящий в правой части (4), понимается в смысле Римана - Стилтьеса.

Доказательство. - это марковские моменты , которые исчерпывают скачки процесса . Так как траектории процесса кусочнопостоянны, то справедливы равенства:

.

Учтем, что , имеем

.

Так как , гдe , то процесс - предсказуем. В результате имеем (4). Доказательство закончено.

Пример (применения формулы Ито). Вычислим интеграл Римана - Стилтьеса .

Пусть . Из (4) имеем .

Отсюда следует, что .

55. Квадратическая и взаимная вариации опциональных процессов и их свойства.

Определение. Квадратической вариацией опционального процесса , обозначаемая через называется случайный процесс .

Если , то квадратическая вариация процесса является субмартингалом относительно меры Р и потока . Действительно, если , то . Отсюда P - п.н. Поэтому, в силу теоремы Дуба - Мейера существует единственный предсказуемый процесс, обозначаемый через называется характеристикой такой, что является мартингалом относительно меры Р и потока .

Пример. Вычислим квадратическую вариацию и характеристику точечного процесса .

1) . Так как , то имеем .

2) , где - компенсатор точечного процесса .

Определение. Взаимной вариацией опциональных процессов и , обозначаемая , называется опциональный процесс, определяемый равенством .

Теорема 98. Пусть существуют и . Тогда существует .

Доказательство следует из равенства

.

Следствие 99. Пусть имеется два опциональных процесса, имеющих ограниченную вариацию и . Тогда справедливо равенство P - п.н. .

Определение. Взаимной характеристикой квадратично-интегрируемых мартингалов и (относительно потока и меры Р) называется предсказуемый случайный процесс обозначаемый через такой, что является мартингалом относительно потока и меры Р.

Заметим, что существование процесса следует из теоремы Дуба - Мейера.