
- •Ответы к экзамену по курсу «Теория случайных процессов»
- •6. Задание вероятностной меры на (rт,b(rт)). Теорема Колмогорова (теорема 8 – без доказательства)
- •7. Определение случайной величины. Примеры. Разбиение. Дискретная(простая) случайная величина. Распределение вероятностей случайной величины.
- •2) Если случайная величина , то найдется последовательность простых случайных величин таких, что для всех .
- •10. Интеграл Лебега. Свойства математического ожидания.
- •12. Лемма Фату(теорема 16), теорема Лебега о мажорируемой сходимости (теорема 17). Равномерно интегрируемое семейство случайных величин. Критерий равномерной интегрируемости(теорема 19).
- •14. Сходимость в пространстве Lp, p принадлежит [1, ∞]. Критерий Коши(теорема 24).
- •16. Относительная слабая компактность семейства вероятностных мер. Теорема Прохорова (теорема 29)
- •26. Полумартингал (определения). Примеры
- •30. Мартингальные преобразования. Теорема Дуба-Мейера (теорема 50).
- •31. Последовательность имеющая ограниченную вариацию. Семимартингалы. Критерий того, что последовательность является семимартингалом (теорема 55).
- •32. Формула Ито для согласования случайных последовательностей (теорема 58). Формула Ито для произведения двух семимартингалов. Квадратическая и взаимная вариация (определения).
- •35. Разложение Куниты-Ватанабе (теорема 64).
- •36. Локальная плотность. Докажите, что локальная плотность является неотрицательным мартингалом (теорема 65).
- •37. Теорема (67) Гирсанова.
- •38. Однородная Марковская цепь. Классификация состояний однородной марковской цепи (теоремы 69-72)
- •2) Если - счетно, то классов не более, чем счетно.
- •40. Определение случайного процесса. Прогрессивно измеримый процесс. Достаточные условия существования прогрессивно измеримого процесса (теорема 76)
- •42. Пуассоновский случайный процесс (определение) и его свойства.
- •43. Полумартингалы (определения, случай непрерывного времени) Предопределенный процесс. Теорема (78) Дуба-Мейера. Пример.
- •44. Регулярные мартингалы. Критерий существования непрерывной справа модификации у равномерно интегрируемого супермартингала (теорема 79).
- •На лекциях была без доказательства!
- •48. Остановленный случайный процесс, локализующая последовательность, локальный полумартингал (непрерывное время).
- •49. Классификация марковских моментов опциональные, предсказуемые.
- •51. Процессы ограниченной вариации и их свойства (теоремы 94, 95).
- •52. Точечный случайный процесс (определение). Считающий процесс и его свойства. Компенсатор. Пример точечного процесса.
- •53. Интеграл Римана-Стильтеса (определение) и его свойства (теорема 96).
- •56. Интегрирование случайных процессов по мартингалами имеющим ограниченную вариацию (теорема 100).
- •57. Теорема Кэмбелла (следствие 101). Найдите характеристическую функцию Пуассоновского случайного процесса.
40. Определение случайного процесса. Прогрессивно измеримый процесс. Достаточные условия существования прогрессивно измеримого процесса (теорема 76)
Пусть - измеримое пространство.
Определение.
Пусть
,
а
-
семейство на
-алгебре
на
.
Семейства
назовем потоком
-алгебр
или фильтрацией, если для
при
и
.
Замечание.
Фильтрация
описывает историю некоторого явления,
и
называют
-алгеброй
событий предшествующих моменту
времени t.
Определение.
Будем говорить, что поток
-алгебр
непрерывен справа, если
.
Определение.
Пусть имеется два измеримых пространства
и
.
Случайным процессом с непрерывным
временем, определенным на
со значениями в
называется
семейство
случайных
элементов со значениями в E.
Пространство
будем называть пространством элементарных
исходов, а E - пространством
состояний.
Для
значение
называется состоянием случайного
процесса в момент времени
.
Для фиксированного
множество
называется траекторией или реализацией
случайного процесса.
Определение.
Случайный процесс
называется согласованным с фильтрацией
,
если при каждом
он
-измерим,
для него будем использовать обозначение
.
Определение.
- вероятностное пространство с фильтрацией
называется стохастическим базисом,
если
-
непрерывно справа и для него будем
использовать обозначение
.
Соглашение: будем полагать везде ниже, что стохастический базис полный, т.е. -алгебра F и фильтрация (для ) пополнены множествами нулевой меры P.
Определение.
Случайный процесс
называется
измеримым, если отображение
измеримо относительно
-алгебры
.
Определение.
Случайный процесс
называется прогрессивно измеримым,
если отображение
измеримо относительно
.
Замечание. Отметим, что всякий прогрессивно измеримый процесс является согласованным. Обратное утверждение неверно. Однако верно следующее утверждение.
Теорема 76. Пусть - согласованный процесс и Е - польское пространство. Тогда - прогрессивно измерим.
Доказательство.
Для
рассмотрим
диадическое разбиение отрезка
,
т. е. разбиение
на
равных
интервала, где
.
Для
,
положим
.
Очевидно, что
- измеримое отображение из
относительно
-алгебры
.
Устремляя
получаем, что отображение
является измеримым относительно
-алгебры
при каждом
..
41. Модификация случайного процесса. Стохастически непрерывный случайный процесс. Случайный процесс непрерывный в среднем порядка p. Докажите, что если случайный процесс непрерывен в среднем порядка p, то он стохастически непрерывен (теорема 77).
Определение.
Пусть
и
-
два случайных процесса, определенных
на
. Процесс
называется модификацией процесса
,
если для каждого
Р - п. н.
Определение.
Случайный процесс
называется
стохастически непрерывным справа
(слева) в точке
,
если для любого
(
).
Случайный процесс называется стохастически непрерывным справа (слева), если он стохастически непрерывен справа (слева) в любой точке .
Определение.
Если
,
то будем говорить, что процесс принадлежит
классу
.
Определение.
Процесс
непрерывен справа (слева) в среднем
порядка
в точке t, если
.
Процесс
непрерывен справа (слева) в среднем
порядка p, если он
непрерывен справа (слева) в среднем
порядка p, в каждой точке
.
Теорема 77. Если процесс - непрерывен справа (слева) в точке t в среднем порядка p, то он стохастически непрерывен справа (слева) в точке t.
Доказательство следует из неравенства
Чебышева. Действительно пусть любое
,
имеем
.
Переходя к пределу при
получаем утверждение теоремы.