35. Разложение Куниты-Ватанабе (теорема 64).
Теорема 63 (неравенство Куниты - Ватанабэ). Пусть и квадратично интегрируемые мартингалы. Тогда Р - п. н. для любого
Доказательство следует из неравенства Коши и определения взаимной характеристики квадратично интегрируемого мартингала.
Теорема
64 (Разложение Куниты-Ватанабэ). Пусть
и
-квадратично интегрируемые мартингалы
относительно меры Р, принимающие
значения в
.
Тогда
существуют последовательности: i)
-предсказуемая
; ii)
мартингал относительно мер Р ортогональный
мартингалу
;
такие, что Р- п.н. справедливо
разложение
, (19)
причем разложение (19) –единственно.
Доказательство. Обозначим для любого .
(20)
Очевидно,
что
-
предсказуема. В силу того, что:
i) -мартингал относительно меры Р;
ii)
из определения
следует, что
-мартингальное
преобразование, а из неравенства
Куниты-Ватанабэ следует, что оно является
квадратично интегрируемым мартингалом
относительно меры Р.
Поэтому
-
мартингал относительно меры Р.
Покажем,
что
-
мартингал относительно меры Р. Для этого
достаточно установить, в силу формулы
Ито, равенство
Р- п.н., которое следует из (20). Отсюда
вытекает, что
Р- п.н.. Следовательно,
Установим
единственность разложения (19).
Действительно, пусть существуют
и
относительно которых справедливо
разложение (19). Тогда, если
,
то из (19) следует, что
-
мартингал относительно потока
и меры Р. Поэтому
-
мартингал. Следовательно,
Р- п.н. Доказательство закончено.
36. Локальная плотность. Докажите, что локальная плотность является неотрицательным мартингалом (теорема 65).
Пусть
на фильтрованном измеримом пространстве
заданы две вероятностные меры
и
Р. Обозначим через
и
сужение вероятностных мер
и
Р, соответственно, на
.
Обозначим
.
Определение.
Мера
называется локально абсолютно
непрерывной относительно меры Р
(обозначаем
),
если
для каждого n.
Определение.
Мера
называется локально эквивалентной
мере Р (обозначаем
),
если
для каждого n, т.е.
и
для каждого
.
Обозначим
через
-
производную Радона - Никодима, которую
мы будем называть локальной плотностью.
Отметим, что из
не следует
.
Теорема
65. Пусть
-
локальная плотность меры
относительно меры Р. Тогда
-
мартингал относительно меры Р.
Доказательство.
Пусть
,
имеем
Отсюда
в силу произвольности А получаем, что
Р - п. н. для
.
Доказательство закончено.
Следствие
66. Если
- равномерно интегрируемый неотрицательный
мартингал, то существует
- измеримая неотрицательная случайная
величина
такая, что
и
Р - п. н. (Это утверждение вытекает
из теоремы (леммы Фату).
37. Теорема (67) Гирсанова.
Теорема
67 (Гирсанов). Пусть
- локальный мартингал относительно меры
Р, а
- локальная плотность меры
относительно меры Р. Пусть
и для любого
Р - п. н. Тогда относительно меры
последовательность
определяемая соотношением
является локальным мартингалом.
Доказательство.
Пусть
-измеримая
случайная величина. Тогда Р - п. н.
справедливо равенство
. (21)
Действительно.
Пусть
- любая
измеримая ограниченная случайная
величина. Тогда, с одной стороны, имеем
(22)
С другой стороны
(23)
Из (23) и (22) в силу произвольности получаем (21). Далее, в силу (21), имеем Р - п. н.
Значит
является
мартингал-разностью относительно меры
.
Доказательство закончено.