Ответы к экзамену по курсу «Теория случайных процессов»

2011/2012 учебный год. Лектор Хаметов В.М.

1. Измеримое пространство. Примеры измеримых пространств.

Определение . с алгеброй F называется измеримым пространством и обозначается ( ,F).

Определение. Система F- подмножеств множества называется алгеброй, если:

1. она является алгеброй,

2. , для то и .

Определение. Пусть . - система подмножеств множества называется алгеброй если:

а) , ;

б) А А А ;

в) А А

Примеры измеримых пространств

Измеримое пространство (R¹, (R¹))

Пусть R¹=(- , ] – действительная прямая и (a,b] = { R¹: } для всех . Обозначим через А(R¹) систему множеств в R¹, состоящую из конечных сумм непересекающих интервалов вида (a,b] : А(R¹), где . Нетрудно видеть, что эта система множеств, а также – образуют алгебру – А(R¹) , которая не является алгеброй, так как А(R¹), но А(R¹).

Из предыдущих построений следует, что (R¹) состоит из интервалов вида , где , и их счетных объединений и пересечений. Отсюда следует, что:

i) ii) iii)

Измеримое пространство (Rⁿ, (Rⁿ))

Пусть Rⁿ = R R … R – называется прямое или декартово произведение n экземпляров числовой прямой, то есть, множество упорядоченных наборов , где , .

Множество где , называется прямоугольником, то есть, Rⁿ : , а - его сторонами.

Через (Rⁿ) обозначим совокупность всех прямоугольников из Rⁿ. (Rⁿ) - наименьшая алгебра порожденная - называется борелевской алгеброй множеств Rⁿ, которую и обозначим через  (Rⁿ). Измеримое пространство (R , (R ))

R - пространство числовых последовательностей где - , Пусть - борелевское множество к-ой числовой прямой (то есть, множество  (R¹)). Рассмотрим множества :

i) R : };

ii) R : };

iii)  (R ) R : .

Такие множества называются цилиндрическими, причем называют основанием цилиндра, а остальные координаты – образующими цилиндра. Нетрудно видеть, что множества , , образуют алгебру. Обозначим наименьшие алгебры, порожденные множествами вида i)-iii) через (R ), ₁(R ), ₂(R ), соответственно. Можно показать, что эти алгебры совпадают.

Измеримое пространство (R^Т ,  (R^Т))

Пусть Т – произвольное пространство, множество. Пространство R^Т – совокупность действительных функций на T со значениями в R¹, обозначенные . Для простоты будем считать, что . Обозначим: , где . Проводя рассуждения аналогичные приведенным в пункте 2.3, легко построить алгебру борелевских множеств на R^Т, порожденную цилиндрическими множествами и обозначаемую через  (R^Т).

Возникает вопрос: какова структура множества  (R^Т)? Оказывается, что любое множество  (R^Т) допускает представление , где  (R ). Отсюда следует, что множества, зависящие от поведения функций в несчетном числе точек t Т необязаны быть измеримыми относительно  (R^Т). Например: i) }, , ii) - непрерывные в точке .

В связи с неизмеримостью некоторых множеств из R^Т по отношению к (R^Т) естественно рассматривать более узкие функциональные пространства.

Измеримое пространство (С[0,T],  (С[0,T])).

Пусть Т=[0,1], С[0,1] - пространство непрерывных функций x_t, t [0,1], со значениями в R¹. Очевидно, С[0,1] –метрическое пространство, относительно метрики ρ(х,у)= , то есть ρ(х,у) – расстояние между двумя непрерывными функциями, обладающие свойствами:

1. ρ (х,у)=0 x=y; 2) ρ (х,у)= ρ (у,x); 3) ρ (х,у) ρ (x,z)+ ρ(z,y).

Через  (С[0,T]) обозначим наименьшую алгебру, порожденную цилиндрическими множествами, которые строятся аналогично пункту (R^Т ,  (R^Т)).

Измеримое пространство (,()).

 – пространство функций x_t , t [0,1], со значениями в R¹ , непрерывные справа, имеющие пределы слева в любой точке t [0,1]. В нем также можно ввести метрику:

ρ_s(x,y) inf { , где - множество строго возрастающих непрерывных на отрезке [0,1] функций , причем и }. -алгебра () строится аналогично пункту (R^Т ,  (R^Т)).

2. Задание вероятностной меры на (R¹,B(R¹)). (теорема 4) Классификация мер на (R¹,B(R¹)).

Измеримое пространство (R¹,(R¹)).

Пусть F: R¹ [0,1] - измеримая функция, обладающая свойствами:

1) неубывающая;

2) F(- )=0 F( )=1, где F(- )= и F( )= ;

3) непрерывна справа и имеет предел слева в каждой точке R¹.

Определение. Всякая функция F(x), удовлетворяющая свойствам 1)- 3) называется функцией распределения на R¹ .

Теорема 4. Пусть - функция распределения на R¹, тогда на (R¹, (R¹)) существует и притом единственная вероятностная мера Р такая, что для любых , причем , Р

Пример: пусть функция распределения имеет вид:

=

Соответствующую ей меру называют мерой Лебега отрезка и обозначают Λ, причем Λ

Приведем классификацию мер на (R¹,  (R¹)).

Дискретные меры.

Пусть - функция распределения кусочно-постоянна и меняет свои значения в точках х₁,х₂, …, причем где Ясно, что соответствующая этой функции распределения вероятностная мера Р сосредоточена в точках х₁,х₂, …, причем Р .

Набор чисел где - называется дискретным распределением.

Примеры дискретных распределений содержатся в приведенной ниже таблице.

Распределение		Параметры
1. Дискретное равномерное
2. Бернулли		- вероятность успеха,
3. Биноминальное		,
4. Пуассоновское Пк	Пk
5. Геометрическое =
6. Отрицательное биноминальное

Абсолютно непрерывные меры.

Пусть существует неотрицательная функция такая, что функция распределения допускает представление:

Функцию ( ) называют плотностью функции распределения .

Пример: Функцию , называют гауссовской плотностью. Легко убедиться в том, что

Сингулярные распределения.

Определение. Точка называется точкой роста функции распределения , если для любого .

Определение. Сингулярными мерами называются меры, функции распределения которых непрерывны, причем точки роста, которые образуют множество нулевой меры Лебега.

Пример. Возьмем отрезок и построим на нем сингулярную функцию распределения с помощью приема, принадлежащего Кантору Г. Пусть F_o – функция распределения, соответствующая мере Лебега на отрезке [0,1].Разделим на 3 равные части и определим - функцию распределения следующим образом: = 0, при x < 0; = x, при x [0, ); = , при x [ , ); = x – , при x [ ,1); = 1, при x > 1. Затем, каждый из интервалов и опять поделим на 3 равные части и определим функцию распределения следующим образом:

= 0, при x < 0; = x, при x [0, ); = при x [ , ]; = x - , при x [ , ]; = при x [ , ); = x – 1, при x [ , ); = при x [ , ); = x - , при x [ ,1].

Продолжая этот процесс далее мы построим последовательность функции распределения , которая, очевидно, сходится при к некоторой неубывающей непрерывной функции распределения . Очевидно, что точки роста функции распределения имеет нулевую меру Лебега, так как общая длина интервалов, на которых принимает постоянные значения равна 1. Действительно, общая длина интервалов постоянства функции равна

Пусть - множество точек роста функции распределения , тогда из последнего рассуждения следует, что (в этих случаях говорят, что мера, соответствующая этой функции распределения сингулярна по отношению к мере Лебега ).

3. Теорема Лебега (теорема 5). Функция распределения.

Теорема 4.(Лебега) Любая функции распределения на прямой R¹ представима в виде:

,

где и , а - дискретная, - абсолютно непрерывная, - сингулярная функции распределения.

Пусть F: R¹ [0,1] - измеримая функция, обладающая свойствами:

1) неубывающая;

2) F(- )=0 F( )=1, где F(- )= и F( )= ;

3) непрерывна справа и имеет предел слева в каждой точке R¹.

Определение. Всякая функция F(x), удовлетворяющая свойствам 1)- 3) называется функцией распределения на R¹ .

4. Задание вероятностной меры на (Rⁿ,B(Rⁿ))(теорема 6). Примеры.

Измеримое пространство (Rⁿ ,(Rⁿ)).

Пусть - измеримая функция, непрерывная справа (по совокупности измененных), имеющая левый предел. Введем оператор , действующей по правилу

.

Определение. Всякая непрерывная справа функция удовлетворяющая условиям:

1) для любых , i = ;

2) ;

3) , если хотя бы одна из координат n-мерного вектора принимает значение ,

называется -мерной функцией распределения.

Очевидно следующее утверждение.

Теорема 6. Пусть - -мерная функция распределения. Тогда на (Rⁿ,(Rⁿ)) существует единственная вероятностная мера Р такая, что , где , .

Примеры. 1) Пусть

=

мерная функция распределения вероятностей, которой соответствует мера Лебега на .

2) ,где

.

5. Задание вероятностной меры на (R^∞,B(R^∞))(теорема 7)

Измеримое пространство (R ,(R ))

Обозначим через R :( ) , где Rⁿ – цилиндрическое множество в с основанием (Rⁿ). Пусть последовательность вероятностных мер определенных, соответственно, на (R¹ ,(R¹)), (R² ,(R²)), обладает следующим свойством:

(1)

где , .

Условие (1) называют условием (свойством) согласованности.

Теорема 7. (Колмогорова о продолжении вероятностной меры на (R ,(R )). Пусть - последовательность вероятностных мер, соответственно, на (R¹,(R¹)), (R²,(R²)), обладающая свойством согласованности. Тогда существует единственная мера Р на (R ,(R )) такая, что для каждого P P для .