34. Булевы функции от одного аргумента. (Определение. Все булевы функции от одного аргумента).

Булевой функцией от одного аргумента называется функция f, заданная на множестве из двух элементов и принимающая значения в том же двухэлементном множестве.

Существует четыре переключательные функции одного аргумента, которые приведены в табл. 1.

Таблица 1

Переключательные функции одного аргумента

x

f(x)

0

1

Условное обозначение

Название функции

f0(x)000 Константа нуль

f1(x)01x Переменная x

f2(x)10 Инверсия x

f3(x)111 Константа единица.

Функция f0(x) тождественно равна нулю. Она называется константой нуль и обозначается f0(x)=0.

Функция f1(x) повторяет значения аргумента и поэтому тождественно равна переменной x.

Функция f2(x) принимает значения, противоположные значениям аргумента: если x=0, то f2(x)=1; если x=1, то f2(x)=0. Эту функцию называют инверсией x или отрицанием x и вводят для нее специальное обозначение f2(x)= .

Функция f3(x) тождественно равна единице. Она называется константой единица и обозначается f3(x)=1.

35. Булевы функции от двух аргументов (Определение булевой функции двух аргументов, тождественный ноль, тождественная единица, конъюнкция, штрих Шеффера, дизъюнкция, стрелка Пирса (функция Вебба)).

Булева функция от 2 аргументов называется функция g заданная на множестве {0,1}х{0,1} и принимающая значения в двухэлементном множестве {0,1}

x 0 0 1 1

y 0 1 0 1 Обозначение Название

0 0 0 0 0 0 Нуль, const 0

1 0 0 0 1 x•y,x∧y,x&y Конъюнкция

2 0 1 1 1 x∨y Дизъюнкция

3 1 0 0 0 x↓y Стрелка Пирса

4 1 1 1 0 x|y Штрих Шеффера

5 1 1 1 1 1 Единица, const 1

36. Булевы функции от двух аргументов (Определение булевой функции двух аргументов, импликация, отрицание импликации, антиимпликация (обратная импликация), отрицание антиимпликации, эквивалентность, сложение по модулю два (сумма Жегалкина)). Равенство двух булевых функций.

Булева функция от 2 аргументов называется функция g заданная на множестве {0,1}х{0,1} и принимающая значения в двухэлементном множестве {0,1}

x 0 0 1 1

y 0 1 0 1 Обозначение Название

1 0 0 1 0 (y→x)’ отрицание импликации

2 0 1 0 0 (y→x)’ отрицание антиимпликации

3 1 0 0 1 x~y Эквивалентность

4 0 1 1 0 x⊕y Сумма по модулю 2

5 1 0 1 1 y→x антиимпликация

6 1 1 0 1 x→y Импликация

Две булевы функции f(x, y) и g(x, y) называются равными если каждому набору значений элементов х, у обе функции сопоставляю один и тот же элемент из множества {0,1}, т.е. f(a, b)=g(a, b) для любых a, b принадлежащих {0,1}.

37. Свойства дизъюнкции, конъюнкции и отрицания (теорема 4.3).

А) идемпотентность дизъюнкции и конъюнкции х∨х=х, х^*_.х=х.

Б) коммутативность дизъюнкции и конъюнкции х∨у=у∨х, х*у=у*х

В) ассоциативность дизъюнкции и конъюнкции (х∨у) ∨z=x∨ (y∨z), (х*у) *z=x* (y*z).

Г) х∨1=1, x*1=x,

Д) x∨0=x, x*0=0

Е) дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции x∨(y*z)=(x∨y)*(x∨z)

Ж) дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции x*(y∨z)=(x*y)∨(x*z)

З) законы поглощения x∨(x*y)=x, x*(x∨y)=x.

И) законы де Моргана (x∨y)’=x’*y’, (x*y)’=x’∨y’

К) x∨x’=1, x*x’=0

Л) x’’=x