22. Комбинаторика. Формула включения-исключения.

Комбинато́рика — раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисления элементов) и отношения на них (например, частичного порядка). Комбинаторика связана со многими другими областями математики — алгеброй, геометрией, теорией вероятностей, и имеет широкий спектр применения в различных областях знаний (например в генетике, информатике, статистической физике).

Пусть имеется N предметов и n свойств. Каждый предмет может обладать 1 или несколькими из этих n свойств.

N(a_i1, a_i2, …, a_is) число предметов, обладающих свойствами.

N(a₁, a₂,…, a_n) не обладающие свойствами.

N(a₁, a₃, a₄’)

Справедлива формула:

23. Рекуррентные соотношения. Метод рекуррентных соотношений. Числа Фибоначчи (задача приводящая к числам Фибоначчи).

Рекуррентное соотношение - это соотношение(равенство, система равентсв) позволяющее свести решение комбинационной задачи для некоторого числа предметов к аналогичной задаче с меньшей размерностью. Решение комбинационных задач с помощью рекуррентных соотношений - это метод рекуррентных соотношений.

В честь учёного назван числовой ряд, в котором каждое последующее число равно сумме двух предыдущих. Эта числовая последовательность носит название чисел Фибоначчи:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, …

Последовательность Фибоначчи Fn определяется рекуррентным соотношением:

F0 =0,

F1 =1,

Fn = Fn-1 + Fn-2,……для № > 1.(1)

24. Рекуррентные соотношения. Порядок рекуррентного соотношения. Решение и общее решение рекуррентного соотношения. Привести примеры.

25. Рекуррентные соотношения. Линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами. Два утверждения на которых основывается решение линейных рекуррентных соотношений.

Для решения рекуррентных соотношений общих правил, вообще говоря, нет. Однако существует весьма часто встречающийся класс соотношений, решаемый единообразным методом. Это - рекуррентные соотношения вида (8.3)

где - некоторые числа. Такие соотношения называют линейными рекуррентными соотношениями с постоянными коэффициентами.

Решение этих соотношений основано на следующих двух утверждениях.

Если и являются решениями рекуррентного соотношения (8.4), то при любых числах А и В последовательность также является решением этого соотношения.

Если является корнем квадратного уравнения

то последовательность

является решением рекуррентного соотношения

26. Общее решение линейных рекуррентных соотношений второго порядка с постоянными коэффициентами (случай различных корней характеристического уравнения). Привести примеры.