53. Графы. Матричное задание графов. Матрица смежности, матрица инцидентности. Привести примеры.

Пусть D = (V, Х) – орграф, где V={v1, v2, …,vn}, X={x1, x2, …, xm}.

Определение. Матрицей смежности орграфа D называется квадратная матрица A(D)=[aij] порядка n, у которой

Определение. Матрицей инцидентности орграфа D называется (nґm) –матрица B(D)=[bij], у которой

Введем также матрицы смежности и инцидентности для неориентированных графов. Пусть G = (V, X) – граф, где V={v1, v2, …,vn}, X={x1, x2, …, xm}.

Определение. Матрицей смежности графа G называется квадратная матрица A(G)=[aij] порядка n, у которой

Определение. Матрицей инцидентности графа G называется (nґm) –матрица B(G)=[bij], у которой

54. Графы. Маршруты, пути (определение маршрута; начальная, конечная, внутренняя вершины; подмаршрут, выделенный маршрут, выделенный подпуть, длина маршрута, замкнутый маршрут, цепь, простая цепь, цикл (контур), простой цикл (контур)). Привести примеры. Утверждение о выделении просто цикла (простого контура) и простой цепи.

Маршрут в графе — это чередующаяся последовательность вершин и рёбер v₀,e₁,v₁,e₂,v₂,...,e_k,v_k, в которой любые два соседних элемента инцидентны. При этом v₁ – начальная вершина, v_k – конечная вершина. Остальные вершины – внутренние.

Длина маршрута – число ребер(дуг) в маршруте(пути).

Маршрут(путь) называется замкнутым, если его начальная вершина совпадает с конечной.

Незамкнутый маршрут(путь) в котором все ребра(дуги) попарно различны называется цепью.

Цепь в которой все вершины попарно различны называется простой цепью.

Замкнутый маршрут(путь) в котором все ребра(дуги) попарно различны называются циклом(контуром).

Цикл(контур) в котором все вершины попарно различны называются простыми.

Утверждение 1. Для того чтобы связный псевдограф G обладал Эйлеровым циклом, необходимо и достаточно, чтобы степени всех его вершин были четными.

Утверждение 2. Для того чтобы связный псевдограф G обладал Эйлеровой цепью, необходимо и достаточно, чтобы он имел ровно 2 вершины нечетной степени.

55. Графы. Свойства матрицы смежности и инцидентности. Утверждение о числе всех путей (маршрутов) длины k из одной вершины в другую. Утверждение о наличие хотя бы одного контура.

Свойства матриц смежности и инцидентности.

Для ориентированного мультиграфа D=(V,X), V={v1,...,vn}, X={x1,...,xm}

- сумма строк матрицы B(D) является нулевой строкой (дуга один раз входит и один раз выходит);

- любая строка матрицы B(D) является линейной комбинацией остальных строк (вследствие предыдущего);

- ранг матрицы B(D) не превосходит n(D)-1 (также вследствие предыдущего);

- для любого контура в D сумма столбцов матрицы B(D), соответствующих дугам, входящим в этот контур, равна нулевому столбцу.

Для неориентированного мультиграфа G=(V,X), V={v1,...,vn}, X={x1,...,xm}

- сумма строк матрицы B(G) по модулю 2 является нулевой строкой (дуга один раз входит и один раз выходит, а вместе четно);

- любая строка матрицы B(G) является суммой по модулю 2 остальных строк (вследствие предыдущего);

- для любого цикла в G сумма по модулю 2 столбцов матрицы B(G), соответствующих ребрам, входящим в этот цикл, равна нулевому столбцу.

Для того чтобы n-вершинный орграф D с матрицей A=A(D) имел хотя бы 1 контур необходимо и достаточно, чтобы матрица K=A²+A³+…+Aⁿ имела не 0диагональные элементы.