11. Отношения. Эквивалентность и порядок. Сравнимость элементов множества по отношению порядка.

Отношения – один из способов задания связи между элементами множества.

Бинарное отношение R на множестве X называется отношением эквивалентности, если выполнены следующие свойства:

(рефлексивность) xRx для всех x ∈ X;

(симметричность) xRy=>yRx для всех x,y∈X ;

(транзитивность) xRy и yRz=> xRz для любых элементов x, y, z∈X.

Бинарное отношение <= на множестве X называется отношением частичного порядка, если выполнены такие свойства:

(рефлексивность) x<=x для всех x ∈X;

(антисимметричность) для всех x, y∈X ;

(транзитивность) для всех x, y, z∈X;

Элементы a, b, ∈M сравнимы по отношению порядка R если выполняется aRb или bRa.

12. Отношения. Операции над бинарными отношениями (Объединение, пересечение, разность, дополнение, обратное отношение, составное отношение (композиция), транзитивное замыкание, рефлексивное замыкание). Привести примеры.

Отношения – один из способов задания связи между элементами множества.

13. Соответствия. Основные определения (определение, область определения, область значений, понятия образа и прообраза элемента, образа и прообраза множества). Свойства соответствий (всюду (полностью) определенное, частично определенное, сюрьективное, функциональное (однозначное), взаимно однозначное соответствие). Равномощность множеств. Привести примеры.

Соответствие - способ задания взаимосвязей, взаимодействий между элементами множества (наряду с отношениями). Частными случаями соответствий являются функции, отображения, преобразования, операция и др. В соответствии между множествами А и В называется подмножество G: GcAxB;

Область определения соответствия G – множество проекций пр₁G={a: (a, b) ∈G};

Область значений соответствия G – множество проекций пр₂G={b: (a, b) ∈G};

Если элементу x соответствует y, то y называется образом элемента x, а x - прообразом элемента y.

Образом множества С с пр₁G называется объединение образов всех элементов а∈С;

Пусть теперь задано множество .

Множество элементов таких, что , называется прообразом множества Y при отображении f и обозначается f -1(Y).

Свойства соответствий G Í A´B:

• Всюду (полностью) определенное соответствие - если пр₁ G = А. Частично определенное соответствие - в противном случае.

• Сюръективное соответствие - если пр₂ G = В.

• Функциональное (однозначное) соответствие - если образом любого элемента а из области определения np₁G является единственный элемент b из области значений пр₂ G.

• Взаимно однозначное соответствие - если оно: а) всюду определено; б) сюръективно; в) функционально; г) прообразом любого элемента b из области значений пр₂ G является единственный элемент а из области определения пр₁ G.

Если между множествами А и В существует взаимно однозначное соответствие, то мощности этих множеств равны, т.е. | А | = | В |. В таком случае говорят, что множества А и В равномощны. Этот факт позволяет:

• установить равенство мощностей двух множеств, не вычисляя этих множеств;

• вычислить мощность множества, установив его взаимно однозначное соответствие с множеством, мощность которого известна или легко вычисляется.

Множества, равномощные множеству натуральных чисел N, называются счетными. Множества, равномощные множеству вещественных чисел R, называются континуальными.

Пример 3. Англо-русский словарь устанавливает соответствие между множествами английских и русских слов. Каковы свойства этого соответствия?

Данное соответствие не является:

• всюду определенным (всегда можно найти английское слово, не содержащееся в словаре);

• сюръективным (по отношению русских слов, имеющихся в словаре);

• функциональным (одному английскому слову ставится в соответствие, как правило, несколько русских);

• взаимно однозначным (в силу предыдущего).