6. Множество. Мощность множества. Нахождение мощности объединения множеств (для двух множеств, для трех множеств, для n-множеств). Привести пример.

Множество – совокупность определенных различаемых объектов, для которых можно установить принадлежит данный объект множеству или нет.

Число элементов конечного множества М называется его мощностью |М|.

1. Мощность объединения двух множеств:

2. Мощность объединения трех множеств:

3. Мощность объединения N множеств:

Пример:

7. Векторы. Прямое произведение множеств. Мощности прямого произведения множеств.

Вектор (или кортеж) - это упорядоченный набор элементов. Элементы вектора называются координатами или компонентами. Число координат - длина вектора (размерность).

Координаты вектора могут совпадать. Два вектора равны, если они имеют одинаковую длину и равны соответствующие координаты.

Прямым (декартовым) произведением множеств А и В (А x В) называется множество всех векторов (a, b), таких, что a ∈ A, b ∈ B:

Если А=В, то А х А=А².

Прямым произведением множества называется множество всех векторов длины m, таких, что .

Пусть - конечные множества. Соответственно мощности этих множеств равны: .

Тогда мощность прямого произведения N множеств равна произведению мощностей соответствующих множеств, т.е. .

8. Отношения. Основные понятия отношений (отношения; унарные, бинарные, n-местные отношения)

Отношения – один из способов задания связи между элементами множества.

Унарные или одноместные отношения – отражают наличие определенного признака Р у элемента множества М.

Тогда все такие элементы a из множества М, которые отличаются данным признаком R, образующие подмножества в М, называются унарными отношением R.

Бинарные отношения – используются для определения взаимосвязи, которыми характеризуются парные элементы во множестве М.

Тогда все пары вида (a, b) из множества М, между которыми имеют отношения, образ подмножества пар из всех пар элементов М х М=М², называется бинарным отношением М.

Могут рассматриваться N-местные отношения. Под N-местными отношениями понимают подмножество R прямого произведения N множеств, n: R М₁ х М₂ х…х М_n, элементы a₁, a₂,…,a_n, где (а₁ принадл М₁ и т.д.) находятся в отношении R, если (а1, а2,…,аn) принадл. R.

9. Отношения. Бинарные отношения. Основные понятия (определение, обозначения, область определения, область значений, способы задания бинарных отношений). Привести примеры.

Отношения – один из способов задания связи между элементами множества.

Бинарным отношением R из множества A в множество B называется подмножество прямого произведения A и B и обозначается:

D(R) – область определения. ={a: (a, b) ∈R}

Q(R) – область значения. ={b: (a, b) ∈R}

Первый способ задания множества состоит в 1 непосредственном перечислении таких пар. Ясно, что он приемлем лишь в случае конечного множества R.

Второй удобный способ задания отношения R на конечном множестве — матричный. Все элементы нумеруются, и матрица отношения R определяется своими элементами для всех i и j. Известным примером такого задания отношений являются турнирные таблицы (если ничьи обозначить нулями, как и проигрыш, то матрица изобразит отношение «xi — победитель yj»).

10. Отношения. Свойства бинарных отношений (рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность). Привести примеры. Графические особенности диаграммы (бинарное отношение задано в виде диаграммы состоящей из узлов и стрелок) в зависимости от характера свойств бинарного отношения.

Отношения – один из способов задания связи между элементами множества.

1. В математике бинарное отношение R на множестве X называется рефлексивным, если всякий элемент этого множества находится в отношении R с самим собой.

2. В математике бинарное отношение R на множестве X называется антирефлексивным, если всякий элемент этого множества не находится в отношении R с самим собой.

3. В математике бинарное отношение R на множестве X называется симметричным, если для каждой пары элементов множества (a,b) выполнение отношения влечёт выполнение отношения .

4. В математике бинарное отношение R на множестве X называется антисимметричным, если для каждой пары элементов множества a,b выполнение отношений aRb и bRa влечёт a = b, или, что то же самое, выполнение отношений aRb и bRa возможно только для равных a и b.

5. В математике бинарное отношение R на множестве X называется транзитивным, если для любых трёх элементов множества a,b,c выполнение отношений aRb и bRc влечёт выполнение отношения aRc.