Общее решение линейных рекуррентных соотношений второго порядка с постоянными коэффициентами (случай одинаковых корней характеристического уравнения). Привести примеры.
Общее решение линейных рекуррентных соотношений с постоянными коэффициентами, порядок которых выше второго. Привести примеры.
Решение рекуррентных соотношений, используя производящую функцию. Понятие производящей функции. Алгоритм решения рекуррентных соотношений с помощью производящих функций.
Производя́щая фу́нкция последовательности {an} — это формальный степенной ряд
=
a0+a1x+a2x2+…+anxn+....
Зачастую производящая функция последовательности чисел является рядом Тейлора некоторой аналитической функции, что может использоваться для изучения свойств самой последовательности. Однако, в общем случае производящая функция не обязана быть аналитической.
Производящие функции дают возможность просто описывать многие сложные последовательности в комбинаторике, а иногда помогают найти для них явные формулы.
Метод производящих функций был разработан Эйлером в 1750-х годах.
Общая схема решения рекуррентного соотношения с помощь производящих функций на примере решения рекуррентного соотношения
,
,
,
.
Общая схема решения рекуррентного соотношения с помощь производящих функций на примере решения рекуррентного соотношения составленного для чисел Фибоначчи , ,
,
.
Общая схема решения рекуррентного соотношения с помощь производящих функций на примере решения рекуррентного соотношения
,
,
,
.
Переключательные (булевы) функции. Происхождение булевых функций.
Булевы функции названы в честь английского математика ХIХ века Дж. Буля, который впервые применил алгебраические методы для решения логических задач. Они образуют самый простой нетривиальный класс дискретных функций - их аргументы и значения могут принимать всего два значения (если мощность множества значений функции равна 1, то это тривиальная функция - константа !). С другой стороны, этот класс достаточно богат и его функции имеют много интересных свойств. Булевы функции находят применение в логике, электротехнике, многих разделах информатики.
Бу́лева фу́нкция от n переменных — в дискретной математике отображение Bn → B, где B = {0,1} — булево множество. Элементы булева множества 1 и 0 обычно интерпретируют как логические значения «истинно» и «ложно», хотя в общем случае они рассматриваются как формальные символы, не несущие определенного смысла. Неотрицательное целое число n называют арностью или местностью функции, в случае n = 0 булева функция превращается в булеву константу. Элементы декартова произведения Bn называют булевыми векторами. Множество всех булевых функций от любого числа переменных часто обозначается P2, а от n переменных — P2(n). Булевы функции названы так по фамилии математика Джорджа Буля.
Технические вопросы, связанные с составлением логических схем ЭВМ, можно решить с помощью математического аппарата, объектом исследования которого являются функции, принимающие, так же как и их аргументы, только два значения - “0” и “1”.
Таким аппаратом является математическая логика (алгебра логики, булева алгебра).
Логика - это наука о законах и формах мышления.
Математическая логика занимается изучением возможностей применения формальных методов для решения логических задач. Один из разделов математической логики является алгебра логики.
Основное понятие алгебры логики - высказывание. Высказывание - это некоторое предложение, о котором можно утверждать, что оно истинно или ложно.
Любое высказывание можно обозначить символом х и считать, что х=1, если высказывание истинно, а х=0 - если высказывание ложно. Истинному высказыванию соответствует утверждение -“Да”, ложному высказыванию - утверждение - “Нет”.
Логическая (булева) переменная - такая величина х, которая может принимать только два значения х={0,1}.
Высказывание абсолютно истинно, если соответствующая ей логическая величина принимает значение х=1 при любых условиях.
Высказывание абсолютно ложно, если соответствующая ей логическая величина принимает значение х=0 при любых условиях.
Функция f, зависящая от n переменных x1,x2,...,xn, называется булевой, или переключательной, если функция f и любой из ее аргументов принимают значения только из множества {0,1}. Аргументы булевой функции также называются булевыми.