2.1.4. Границы выбранных аппроксимаций

Ранее были сформулированы исходные ограничения выбранной математической модели. Понятно, что полученные аналитические выражения не являются точными в связи с приближенным заданием граничных условий на выходном зрачке, однако возникает вопрос о сходимости дифракционного интеграла (2.4). Интуитивно ясно, что значения цилиндрических координат r и z точки наблюдения Q не могут быть произвольными, и задача заключается в том, чтобы определить ту часть пространства изображений, в которой полученные аналитические выражения удовлетворительно описывают поведение комплексной скалярной амплитуды дифракционного поля.

Выше было показано, что в результате преобразования ядра дифракционного интеграла модуль радиус-вектора , связывающего точку наблюдения Q с произвольной точкой на выходном зрачке оптической системы, был заменен выражением (2.8). Эта аппроксимация справедлива в случае, если

. (2.38)

Последнее выражение представляет собой систему двух совместных неравенств:

,

,

которые должны выполняться одновременно при условии

z  -R, 0    1, 0  ( - )  2.

Опуская довольно громоздкую процедуру анализа системы неравенств, приведем конечный результат:

(2.39)

Полученные общие решения (2.39) обеспечивают выполнение (2.38) при любых  и (-) в указанных пределах их изменения. Можно приближенно определить предельные значения координат точки наблюдения Q.

(2.40)

Вторая функциональная зависимость (2.40) связывает цилиндрические координаты точки наблюдения Q (r, z) и определяет некоторую поверхность второго порядка, ограничивающую часть пространства изображений оптической системы. Так как задача обладает осевой симметрией, можно ограничиться рассмотрением сечения этой поверхности меридиональной плоскостью XPZ (см. рис. 2.1). Учитывая, что в уравнениях связи (2.6) необходимо положить  = 0, можно преобразовать данное выражение к виду

, (2.41)

где

, , .

Выражение (2.41) является каноническим уравнением гиперболы, записанным в преобразованной системе координат XOZ. Область допустимых значений переменных r и z ограничена конической поверхностью, образованной вращением ветви гиперболы вокруг оптической оси. Координата вершины этого конуса определяется ранее полученным выражением для .

В качестве примера определим количество дифракционных порядков вдоль оптической оси (в области z  0), в которых можно вычислить фазор поля, пользуясь полученными выражениями. Из (2.22) для координат минимумов функции аксиального распределения интенсивности следует

 .

Раскрывая данное неравенство, получим

.

После простых преобразований имеем

, (2.42)

где индекс ЦЧ означает целую часть числа. Для одного из разработанных микроволновых объективов РО/136 (a=125 мм, R=1128 мм, N=3,46) проведенная оценка показывает, что в аксиальном распределении дифракционного поля в области отрицательных z (между выходным зрачком и параксиальным фокусом) можно определить 13 дифракционных порядков. Для практического анализа микроволновой системы этого более чем достаточно.