Часть 2. Формирование и управление параметрами лазерного излучения. Свойства сфокусированных ограниченных волновых пучков

Излучение, сформированное лазером, представляет собой ограниченный волновой пучок компактной геометрии, обладающий высокой спектральной яркостью и направленностью. При проектировании современных лазерных систем и комплексов различного назначения постоянно приходится решать задачи, связанные с формированием и управлением его пространственными характеристиками. Наряду с традиционными – фокусировка на заданной дистанции, коллимирование, изменение геометрических размеров пучка в поперечном сечении и угловой расходимости, все чаще возникает необходимость обеспечения заданного профиля распределения плотности мощности в пятне заданной геометрии, например, как показано на рисунке 1. В этом случае, компактная оптическая

с истема, представляющая собой панкратический объектив с переменным увеличением, выполняет функцию лазерного медицинского наконечника, соединенного оптическим волокном с излучателем. Требуется сформировать на поверхности объекта, находящегося на заданном расстоянии от выходного зрачка, световое пятно с диаметром (7 – 12) мм, имеющее резкий край и равномерное распределение (не хуже 5%), т.е. П-образный импульс. Аналогичная задача

Рис.1 может быть решена с использованием специальных оптических растровых систем – гомогенизаторов, формирующих большую световую зону с равномерной освещенностью, исключающей наличие в ее пределах т.н. «горячих» точек. Ещё сложнее оказывается проблема сведения пучков линейки полупроводниковых лазеров и формирование общей перетяжки с резко различающимися размерами по «быстрому» и «медленному» сечениям, например, 5мкм и 20 мм, соответственно.

В последние годы в периодической печати появился ряд работ, в которых авторы рассматривают вопросы, связанные с условиями самовоспроизведения световых пучков, формирование самовоспроизводящихся лазерных пучков с помощью дифракционных оптических элементов (ДОЭ) - моданов, применение самовоспроизводящихся пучков в оптических информационных системах, рассмотрение сил, действующих на микрочастицы в световых пучках, и оптическое манипулирование микрочастицами с помощью самовоспроизводящихся пучков. Моданы позволяют формировать не только одиночные моды, но и суперпозицию этих мод. При этом распределение интенсивности при распространении моды в пространстве может оставаться стабильным или периодически изменяться с заданным периодом.

Таким образом, расширяющийся круг задач, которые приходится решать проектировщикам в области лазерных систем и технологий, не снижает актуальности исследования вопросов преобразования лазерных пучков различными оптическими элементами и системами, тем б олее, что в ряде случаев приходится уточнять известные ранее модельные представления. Примерами могут служить факты изменения модового состава и смещение энергетического центра мощного лазерного пучка, отраженного от диагонального зеркала; структуры коллимированного поля, полученной при помощи хорошо корригированного объектива и приведенной на рисунке 2.

Приведенные далее материалы, позволяют проследить процедуру развития известной дифракционной модели, описывающей трехмерную структуру поля в фокальном

Рис.2 объеме оптической системы, взаимодействующей с ограниченным волновым пучком. Ранние экспериментальные факты, показывающие её ограниченность, были связаны с исследованиями в микроволновой области оптического диапазона. Дальнейшие исследования показали общность с процессами, имеющими отношение к лазерной оптике.

1. Дифракция однородной сходящейся сферической волны в оптической системе с произвольным числом Френеля

Одной из основных характеристик, позволяющих судить о качестве оптической системы, является функция рассеяния точки (ФРТ). Обычно под этим понимают распределение энергии в изображении точечного квазимонохроматического источника, сформированное объективом. Как правило, расчет ФРТ проводят либо в плоскости параксиального изображения (плоскости Гаусса), либо в плоскостях, ей параллельных, в частности, в плоскости наилучшей установки. Результаты расчетов представляют в виде графиков нормированной интенсивности или в виде изофот поля, позволяющих наглядно проследить за изменениями формы дифракционного пятна, искаженного остаточными аберрациями. Вычисление и анализ ФРТ на стадии проектирования оптической системы позволяют прогнозировать возможные искажения изображения, судить о разрешающей способности, об изменениях освещенности в плоскости изображения. Экспериментальная проверка ФРТ (методы контроля по дифракционной точке) дает информацию о степени соответствия реальной системы ее расчетному аналогу.

В оптических системах, предназначенных для работы в видимом диапазоне, характерные размеры области локализации дифракционного поля в изображении точечного объекта порядка (10 - 100)мкм. Этот факт серьезно осложняет экспериментальную проверку ФРТ и предъявляет ряд требований к возможным способам анализа структуры поля – малые размеры приемной апертуры, точное позиционирование фотоприемника. Наиболее удобной в этих условиях оказывается регистрация дифракционного пятна на фотослое или матрице ПЗС-камеры. Очевидно, это послужило причиной того, что теоретическому и практическому анализу подвергается обычно одно из сечений дифракционного поля плоскостью Гаусса или параллельной ей плоскостью. При этом часть полезной информации об изображающей системе остается неиспользованной. Например, на основе анализа осевого распределения дифракционного поля в фокальном объеме можно разработать методы измерения геометрооптических параметров объектива, таких как размер и положение выходного зрачка, расстояние от выходного зрачка до плоскости параксиального изображения и т.д.

Микроволновые изображающие оптические системы отличаются рядом особенностей от аналогичных по функциональному назначению систем видимого диапазона. Главное отличие заключается в том, что размеры их линейных апертур значительно меньше по сравнению с длиной волны, чем у аналогов видимого диапазона, а, следовательно, дифракционные эффекты выражены значительно сильнее. Это обстоятельство, естественно, должно сказаться на структуре и качестве изображений, формируемых микроволновыми оптическими системами. Другим важным обстоятельством, требующим уточнения известных модельных описаний дифракционного поля в фокальном объеме, является специфический характер излучения (в частности, лазерного), а именно: дифрагирующая волна является неоднородной и имеет случайные амплитудные и фазовые флуктуации на волновом фронте пучка, обусловленные процессами формирования излучения при его отражении от объекта, распространении в случайной среде, в активной среде лазера и т.д. Вообще говоря, проблема анализа пространственного распределения поля в фокальном объеме оптической системы является одной из центральных в теории оптического изображения, и поэтому она последовательно рассмотрена в виде нескольких модельных задач, первой из которых является случай дифракции однородной сходящейся сферической волны в оптической системе, свободной от аберраций.

В период 1895–1909 гг. ряд авторов (E. Lommel, H. Struve, P. Debye, K. Schwarrzschild) занимался задачей расчета интенсивности светового поля в окрестности параксиального изображения точечного монохроматического источника. В дальнейшем их работы продолжили F. Zernike, B.R.A. Nijboer, E. Wolf, A. Marechal и другие авторы, которые рассчитали и построили ряд изофот поля, как для идеальных оптических систем, так и для систем с первичными аберрациями. В 1957–1958 гг. был опубликован ряд работ M.P. Bachynski, G. Bekefi и G.W. Farnell, посвященных анализу дифракционного поля в фокальном объеме микроволновых линз. Измерения проводились в диапазоне см и см на полистироловых линзах диаметром 500мм. К сожалению, в этих работах были приведены лишь окончательные результаты расчетов в виде изофот и волновых фронтов, которые не позволили достаточно полно проанализировать представленные материалы. Однако качественное сопоставление имевшихся экспериментальных данных c результатами этих авторов показало их хорошее совпадение. В частности, наблюдались асимметрия осевого распределения интенсивности относительно плоскости Гаусса и смещение его максимума в направлении оптической системы, причем эти явления нельзя было получить из решения известной модельной задачи [2]. Таким образом, возникла необходимость ее уточнения применительно к анализу амплитудно-фазовых распределений в фокальном объеме микроволновых оптических систем.

При рассмотрении дифракционных эффектов, имеющих место в изображающей оптической системе, обычно ее (систему) представляют в виде обобщенной модели. При этом абстрагируются от конкретного вида элементов системы, заменяя ее «черным ящиком», имеющим вход и выход. Под ними подразумевают входной и выходной зрачки оптической системы, расположенные определенным образом в координатных системах, связанных с плоскостями предмета и изображения. Существующие эквивалентные точки зрения объясняют дифракционные эффекты в изображении влиянием конечных размеров входного (теория Аббе) или выходного (теория Релея) зрачка.

Так же, как и в монографии [2], мы будем придерживаться второй точки зрения, считая, что поле в области фокуса идеальной оптической системы микроволнового диапазона определяется дифракцией однородной сходящейся сферической волны на выходном зрачке. В этом случае можно выделить ряд зон с различным характером дифракции – зоны с лучевой структурой, полутеневые зоны, а также зоны дифракции Френеля и Фраунгофера. В зависимости от величины параметра (где a – радиус выходного зрачка, – длина волны излучения, R – радиус кривизны волнового фронта) можно выделить три характерных случая:

• сильно сходящееся поле (N>>1 ),

• умеренно сходящееся поле (N1 ),

• слабо сходящееся поле (N<<1 ).

Первый случай типичен для изображающих оптических систем видимого диапазона. Вдоль границ между освещенной и теневой областями существуют зоны полутени, относительно узкие, пересекающиеся только вблизи параксиального фокуса. При удалении от выходного зрачка поле из геометрооптического становится френелевским, далее фраунгоферовским, снова френелевским и геометрооптическим. Второй случай соответствует изображающим оптическим системам, предназначенным для работы в микроволновом диапазоне, т.е. представляет непосредственный интерес для рассматриваемой нами задачи. Образующиеся полутеневые зоны значительно шире, чем в первом случае, и, пересекаясь вблизи от апертуры, уже не расходятся. Поле в этом случае меняется следующим образом – из геометрооптического на френелевское, становясь в фокальной плоскости фраунгоферовским. Область фокуса, в отличие от предыдущего случая, не локализована в малом объеме, а вытянута вдоль оптической оси, и перетяжка пучка смещена в направлении выходного зрачка. Дифракционное поле такого типа является квазиоптическим и, соответственно, изображающие оптические системы микроволнового диапазона можно именовать квазиоптическими системами. Этим термином определяют круг дифракционных задач, в которых характерные геометрические размеры дифракционных апертур или объектов и областей локализации поля соизмеримы с длиной волны. Третий случай – слабо сходящегося поля – соответствует телескопическим оптическим системам и не представляет для нас в данном случае интереса.

При выборе метода решения поставленной задачи возможны два варианта. Первый заключается в поиске точного решения и предполагает решение системы векторных уравнений с заданными граничными условиями. Второй, являющийся традиционным в теории оптического изображения, связан с решением скалярной дифракционной задачи одним из известных эвристических методов, в частности, методом Кирхгофа или Релея-Зоммерфельда. При этом пренебрегают возможными поляризационными явлениями в системе и определяют дифракционное поле в пространстве изображений в виде распределения скалярных комплексных амплитуд.

Решение аналогичной задачи [2] для случая сильно сходящегося дифракционного поля (N>>1) получено методом Кирхгофа. В нашем случае воспользуемся приближением Релея-Зоммерфельда, близким, по сути, к методу Кирхгофа, и проведем параллельный анализ решений.

Рассмотрим идеальную оптическую систему, формирующую изображение P' осевого точечного монохроматического источника P (рис. 2.1). С помощью дифракционного интеграла Рэлея-Зоммерфельда можно записать амплитуду поля в произвольной точке в окрестности точки Р':

. (2.1)

Рис. 2.1. Идеальная фокусирующая оптическая система

Примем следующие обозначения: – радиус-вектор, соединяющий точку Q и произвольную точку P"(,,) на волновом фронте, заполняющем выходной зрачок;  – длина волны; k – волновое число; a – радиус выходного зрачка; R – радиус кривизны волнового фронта (радиус опорной сферы Гаусса); W – поверхность выходного зрачка; – внешняя нормаль к плоскости выходного зрачка.

Зададим поле на выходном зрачке оптической системы в виде однородной сходящейся сферической волны:

. (2.2)

Здесь и далее анализ будет проводиться параллельно с монографией [2], учитывая тот факт, что, в отличие от модели, представленной в работе, анализ, проводимый далее, должен быть справедлив для систем с произвольным числом Френеля (в том числе и с малым).

Для оптических систем с числом Френеля порядка 10³ справедливы следующие соотношения:

, . (2.3)

Эти же соотношения справедливы и для систем с малыми (порядка 10¹) числами Френеля, хотя и не являются настолько жесткими условиями. С учетом соотношений (2.2) и (2.3) можно записать (2.1) в виде

. (2.4)

В связи с тем, что оптическая система обладает осевой симметрией, удобно перейти к цилиндрическим координатам:

(2.5)

(2.6)

Учитывая тот факт, что точка Р'' лежит на сферическом волновом фронте W, заполняющем зрачок ( , где ρ – радиальная координата), можно записать

, (2.7)

при этом важно заметить, что это соответствует переходу от сферического фронта W к его параболической аппроксимации. Далее необходимо выразить через координаты точек Р'' и Q. Здесь возникает первое расхождение в приближении между рассматриваемым случаем и классическим анализом в работе [2]. Для систем с большим числом Френеля поле локализовано в малой области в окрестности параксиального фокуса, и можно пренебречь координатой точки Q вдоль оптической оси. Однако, как показывают расчеты и экспериментальные данные, для квазиоптических систем поле в области фокуса вытянуто вдоль оптической оси, следовательно, z-компонента координаты точки Q играет существенную роль. Тогда выражение для в случае системы с числом Френеля порядка 10¹ имеет вид

;

. (2.8)

Точность аппроксимации ухудшается при стремлении точки наблюдения Q в направлении выходного зрачка. Более подробно этот вопрос будет исследован далее. Тогда интеграл (2.4) может быть записан как

(2.9)

или, используя безразмерные оптические переменные

(2.10)

в виде

(2.11)

Сравнив введенные нами оптические переменные с приведенными в [2],

(2.12)

можно отметить, что преобразование координат, осуществляемое введением оптических переменных, в отличие от [2], не является аффинным.

Комплексная амплитуда поля в произвольной точке окрестности параксиального фокуса может быть записана в виде

, (2.13)

где

, . (2.14)

Измеряемой величиной является интенсивность

, (2.15)

где – интенсивность в параксиальном фокусе.

Для дальнейших вычислений удобно воспользоваться функциями Ломмеля [2]

(2.16)

и рассмотреть два возможных положения точки наблюдения Q.

1. Точка наблюдения лежит в области геометрической тени, т.е. . В этом случае

. (2.17)

2. Точка наблюдения находится в освещенной области, т.е. :

(2.18)

Проанализировать поведение дифракционного поля в фокальном объеме квазиоптической системы в общем случае трудно. Поэтому целесообразно последовательно рассмотреть несколько полезных частных случаев.