2.3. Статистический скалярный анализ дифракции в оптических системах с произвольным числом Френеля

Проблема распространения, дифракции и рассеяния световых и, в частности, лазерных пучков в случайных средах чрезвычайно актуальна уже более четырех десятилетий. В течение этого времени были найдены многочисленные методы решения разнообразных задач теории волновых процессов в случайно неоднородных средах [4,21,30,59].

В этой связи, укажем на следующее обстоятельство: в феноменологической теории распространения (рассеяния) регулярных электромагнитных волн в статистически неоднородных средах при рассмотрении сред с крупномасштабными случайными неоднородностями (длина волны излучения много меньше характерного размера неоднородности) можно выделить две модели описания случайных деформаций волнового фронта волны. Это модели, основанные на методах случайных амплитудно-фазовых экранов и стохастического квазиоптического уравнения. В зависимости от выбора причин флуктуаций эйконала волнового пучка, а также геометрии этого пучка используют то или иное модельное представление для расчета поля.

Другим существенным моментом, требующим уточнения ранее рассмотренной дифракционной модели, являются тепловые шумы резонатора и спонтанное излучение атомов и молекул активной среды источника излучения. Спонтанные шумы, статистика возбуждения многих поперечных мод приводят к тому, что поперечная структура реальных лазерных пучков становится случайной. Поэтому, даже при отсутствии статистически неоднородной среды, в которой распространяется волновой пучок, на входе оптической системы может действовать случайный аналитический сигнал.

Модель непоглощающего случайного фазового экрана в рамках скалярной теории дифракции, применительно к распространению лазерного излучения, является одним из простейших, но довольно эффективных способов описания статистически неоднородной среды, и позволяет рассмотреть картину дифракции регулярного волнового пучка с помощью классических методов скалярной теории дифракции Френеля-Кирхгофа.

Основанием применения скалярного подхода и метода интегрального уравнения Релея-Зоммерфельда служит, справедливое в случае микроволнового и лазерного излучения, предположение о квазипараксиальности распространяющегося пучка.

В рамках данной модели, статистика фазовых неоднородностей определяется соотношением их средних размеров и эффективного радиуса падающего пучка. Это обстоятельство отличает метод фазовых экранов от диффузионного приближения для стохастического квазиоптического уравнения, в котором статистическое распределение крупномасштабных центров рассеяния, т.е. неоднородностей, в борновском приближении однократного рассеяния, естественным образом определятся пространственным спектром флуктуаций диэлектрической проницаемости, а, следовательно, и показателя преломления среды [4], [26], [16]. Однако, оба упомянутых модельных приближения, при условии единой статистики неоднородностей и корректности постановки задачи, эквивалентны.

Всюду ниже, будем рассматривать дифракцию световой волны с длиной волны  на выходном зрачке, в форме круглого отверстия радиуса a, безаберрационной фокусирующей оптической системы с фокусным расстоянием R, при условии, что R   и R  a, причем в качестве основной характеристики данной оптической системы выступает ее число Френеля [31] (аналогично ситуации, рассмотренной в разделе 2.1).

Комплексная амплитуда поля в произвольной точке Q в окрестности фокуса определяется, как

, (2.120)

где – точка на заполняющем отверстие волновом фронте , а – комплексная амплитуда поля в точке , – радиус-вектор, направленный из точки в точку ; интегрирование ведется по поверхности волнового фронта . Далее введем промежуточную декартову систему координат , с началом координат в точке геометрического фокуса системы и с осью , направленной вдоль оптической оси и положим, что в ней и .

Амплитудный коэффициент пропускания случайного фазового экрана, находящегося в плоскости выходного зрачка, задается в виде [19]

. (2.121)

Случайная функция в (2.121), описывающая фазовое возмущение, учитывается в распределении комплексной амплитуды поля на выходном зрачке:

, (2.122)

причем амплитуда волны вводится следующим образом:

, (2.123)

где – декартовы координаты в системе текущей точки на поверхности волнового фронта в плоскости зрачка, – параметр амплитудной, в данном случае гауссовой, неравномерности волны, – постоянная, связанная с нормировкой по потоку энергии излучения через зрачок и вычисляемая по формуле

, (2.124)

где – амплитуда однородной сходящейся сферической волны.

Распределение поля (2.122) вместе с (2.123) и (2.124) представляет неоднородную (сходящуюся) сферическую волну. Заметим, что данный вид дифрагирующего пучка можно рассматривать как естественное обобщение понятия однородной сферической волны, сохраняющее все, принципиальные для нас, свойства при дифракции. Прежде всего, замечание касается явления фокального сдвига, учет которого оказывается необходимым в квазиоптических системах, т.е. в фокусирующих системах с малыми числами Френеля.

Укажем далее строгие условия, которые мы накладываем на . Предположим, что это статистически однородный изотропный гауссов случайный процесс с нулевым средним значением (в этом случае говорят, что этот процесс является центрированным), т.е. . Вопрос выбора статистики случайного процесса, естественно требует обоснования, но, как известно [4], для больших значений числа генерируемых поперечных мод пространственная статистика многомодовых пучков становится гауссовой. Однако следует отметить тот факт, что гауссовская модель статистики, рассеянной на фазовом экране волны, применима лишь в случаях, когда ширина исходного пучка гораздо больше радиуса корреляции фазовых неоднородностей экрана [30].

Наблюдаемой величиной является средняя по ансамблю интенсивность , определяемая как автокорреляционная функция случайного комплексного процесса :

. (2.125)

Комплексные амплитуды и , входящие в (2.125) суть интегралы Релея-Зоммерфельда:

, (2.126)

где  вектор, направленный из точки наблюдения в соответствующую точку , , – длина волны, – волновое число.

После перехода из декартовой системы в цилиндрическую систему , подробно описанного выше и соответствующих преобразований в (2.126), результат усреднения будет иметь вид:

. (2.127)

Перейдем к оптическим координатам :

Переход из в является корректным, поскольку якобиан преобразования не равен тождественно нулю.

С учетом (2.123) и (2.124), будет выглядеть следующим образом:

(2.128)

Далее рассмотрим выражение , входящее в (2.128). Для его вычисления воспользуемся формулой для определения среднего вида , где – гауссовская случайная величина:

.

В нашем случае . Тогда можно получить следующее выражение

(2.129)

где – автоковариационная функция случайного процесса , – коэффициент корреляции процесса, – его дисперсия и . В случае слабых фазовых флуктуаций (  1), исходя из неравенства¹ , мы можем, воспользовавшись разложением в ряд Маклорена экспоненты , переписать (2.129) в виде

. (2.130)

Подставляя (2.130) в (2.129), а (2.129) в (2.128) получаем

. (2.131)

где первое слагаемое в (2.131)

(2.132)

называют когерентной (регулярной) составляющей усредненной интенсивности , а второе слагаемое

(2.133)

– соответственно, некогерентной.

Далее рассмотрим случай, когда коэффициент корреляции , где – радиус корреляции фазовых флуктуаций или корреляционная длина.

Тогда

(2.134)

где – параметр корреляции случайного процесса .

Введем удобное обозначение:

, (2.135)

где – интенсивность в параксиальном фокусе системы.

Начнем вычисление с когерентной части интенсивности . В данном случае преобразуем повторный интеграл в (2.132) в произведение двух двойных интегралов:

(2.136)

и отдельно вычислим, например, первый двойной интеграл, входящий в (2.136).

Для вычисления интегралов подобного типа используем следующую формулу:

. (2.137)

Тогда после интегрирования по , и принимая во внимание четность функция , получим²

(2.138)

Поступая аналогично со вторым двойным интегралом, приходим к следующей формуле:

.(2.139)

Теперь перейдем к вычислению . Перепишем (2.133), подставив в него (2.134),

(2.140)

Здесь необходимо сделать существенное допущение, в рамках которого входящий в формулу (2.140) параметр корреляции предполагается меньшим единицы, т.е. . Тогда показатель экспоненты и, следовательно, имеет место приближенное равенство

(2.141)

Таким образом, (2.140) будет содержать два слагаемых:

(2.142)

где

(2.143)

(2.144)

Вычисление производится по изложенной выше схеме вычисления когерентной компоненты , и, в результате, мы получаем

(2.145)

Для вычисления проведем некоторые промежуточные преобразования. Выпишем и упростим, используя формулу (2.138), двойной интеграл по и , входящий в (2.144)

(2.146)

Преобразуя (2.144) в произведение интегралов и учитывая (2.146), получаем

(2.147)

После элементарных упрощений окончательное выражение для усредненной интенсивности принимает вид:

(2.148)

где , а введенная выше функция имеет следующее представление:

(2.149)

при , , где – символ Похгаммера, – гамма-функция, а – гипергеометрическая функция Куммера.

Результаты расчета нормированной относительной интенсивности поля волны , где , , представленные в виде изофот, приведены на рис. 2.56

В качестве примера, на рис.2.57 приведены графики нормированной относительной интенсивности в плоскости дифракционного максимума ( , , , ). Влияние слабых флуктуаций фазы на волновом фронте ( соответствует отклонениям от опорной сферы Гаусса порядка 0.08) лазерного пучка приводит к изменению распределения энергии в дифракционном пятне, в первую очередь, к уменьшению интенсивности в максимуме, а неравномерность распределения амплитуды в дифрагирующем пучке определяет, в зависимости от величины параметра s, характер перестройки боковых дифракционных порядков, их слияние и переход от функции Эйри к функции Гаусса.

Рис. 2.56. Изофоты в меридиональной плоскости в области фокуса неоднородной сферической волны со случайными флуктуациями фазы ( N = 3.46, s = 2.6, = 0.5, = 0.36 ).

Рис. 2.57. Распределение нормированной относительной интенсивности в плоскости дифракционного фокуса, , , .

Рис. 2.58. Зависимость числа Штреля от дисперсии случайного гауссова процесса Ф при различных . E = E при ,

E = E ( ) при , E = E ( ) при .

На рис. 2.58 приведены графики, характеризующие изменение числа Штреля, которое, в данном случае, определено, как при и . Увеличение численных значений статистических параметров, характеризующих случайный процесс приводит к заметному (относительно критерия Релея) уменьшению интенсивности в максимуме дифракционного пятна, связанному с увеличением некогерентной компоненты, рассеянной в достаточно большом телесном угле и создающей фоновую засветку. Данное утверждение иллюстрируется также результатами расчетов изофот поля в дифракционном пятне приведенными на рис. 2.59 – 2.60.

а

б

в

Рис. 2.59. Изофоты поля в геометрической фокальной плоскости (N= 6.33, аберрации отсутствуют, распределение амплитуды в зрачке равномерное);

а – результирующее поле (фазовые флуктуации, ),

б – когерентная компонента, в – некогерентная компонента.

а

б

в

Рис. 2.60. Изофоты поля в плоскости дифракционного фокуса ( N = 6.33, сферическая аберрация =0.6, гауссовский закон изменения амплитуды по зрачку, s =3.22 ); а –результирующее поле (фазовые флуктуации, ), б – когерентная компонента, в– некогерентная компонента.