4. Модели лазерных пучков

2.4.1 Модель гауссова пучка

Основным математическим аппаратом классической теории распространения электромагнитного излучения является система уравнений Максвелла, которая не имеет общих прямых методов решения. В случае распространения в изотропной среде стационарного монохроматического излучения, когда векторы напряженности электрического и магнитного полей представляются в виде

,

, (2.150)

где — радиус-вектор, а — круговая частота, система уравнений Максвелла сводится к однородным векторным уравнениям Гельмгольца [1]

,

, (2.151)

где — волновое число; ­ — скорость света в вакууме; , ­— диэлектрическая и магнитная проницаемости среды. В дальнейшем будет рассматриваться скалярное уравнение Гельмгольца

, (2.152)

где под можно понимать компоненты векторов или . Это уравнение необходимо дополнить краевым условием

, (2.153)

а само решение должно удовлетворять условиям излучения Зоммерфельда в полупространстве

. (2.154)

Как известно [2], решение уравнения (1.1.3) можно представить в интегральной форме

, , (2.155)

(2.156)

(2.157)

— Фурье-преобразование поля в плоскости . Функцию обычно называют спектральной амплитудой возмущения или угловым спектром.

Выражение (2.155) интерпретируется как суперпозиция волн двух типов: однородных и неоднородных. Действительно, выражение (2.155) можно записать в виде

, (2.158)

где , (2.159)

. (2.160)

Функция является суперпозицией однородных плоских волн, рас­пространяющихся в полусферу . Распространение различных компонент углового спектра однородных волн на расстояние проявляется в относительных фазовых сдвигах вида . Здесь функция играет роль проекции на ось нормали к волновому фронту компонент спектра однородных плоских волн. Такие фазовые сдвиги возникают из-за того, что однородные плоские волны, распространяясь под различными углами к оси , про­ходят разные расстояния, достигая точки . Плоскости равных фаз и равных амплитуд однородных плоских волн совпадают. Неоднородные плоские волны, суперпозиция которых образует , распространя­ются в направлениях параллельных плоскости и экспоненциально убывают в соответствии с , где — фактор ослабления. Плоскости равных фаз неоднородных волн перпен­дикулярны плоскостям равных амплитуд. Хотя амплитуда неоднород­ных волн экспоненциально убывает по мере распространения, вклад в суммарное поле может оказаться существенным [4-6].

Краевая функция для уравнения Гельмгольца (2.153) в общем слу­чае неизвестна, поэтому ее определяют, исходя из особенностей кон­кретной задачи. При исследовании распространения лазерных пучков краевую функцию обычно задают в виде [7]

, (2.161)

где и — константы, определяющие мощность и эффективную ширину пучка соответственно, а — полином Эрмита m-го порядка. Такой выбор краевого условия обусловлен тем, что собственные функции интегрального уравнения пустого устойчивого конфокального резонатора имеют вид (2.161). Собственные функции описывают распределение поля на выходном зеркале резонатора, которое естественным образом служит началом системы координат уравнения (2.153), и, следовательно, могут приближенно использоваться в качестве краевых. Кроме того, функции , m = 0, 1 ... , образуют полную ортогональную систему в , поэтому произвольную краевую функ­цию можно представить в виде суперпозиции функций .

Выражение (2.155) является точным, однако не интегрируется в явном виде с краевым условием (2.161), поэтому применяется более простое в математическом отношении параксиальное (параболическое) прибли­жение, когда заменяется на первые два члена своего разложения в ряд Тейлора

. (2.162)

Тогда (2.153) интегрируется явно, а решение называется гауссовым пуч­ком (гауссовой модой) порядка в параксиальном приближении и представляется следующим соотношением:

, (2.163)

где — набег фазы;

— кривизна фазового фронта;

— эффективная ширина пучка.

Обоснование параксиального приближения рассмотрено, например, в [4]. Оно основывается на том, что угловой спектр существенно отличен от нуля только при , если поперечные размеры пучка много больше длины волны, что и дает возможность использо­вать приближение (2.162).

В фокусирующих системах, когда перетяжка пучка может быть сравнима с длиной волны, параксиальное приближение становится не­корректным. Для уточнения параксиального приближения в работе [8] предлагается воспользоваться тождеством, справедливым для

, (2.164)

где (2.165)

— функция Ганкеля первого рода.

Если в (2.165) оставить только член суммы при , то ряд (2.164) сойдется к , что соответствует параксиальному приближению. Если же ряд (2.164) подставить в выражение (2.155) с краевым условием (2.161) для гауссова пучка порядка (0,0), провести замену переменных интегрирования и изменить порядок суммирования и интегрирования, то можно получить

, (2.166)

где , (2.167)

, , — функция Бесселя первого рода нулевого порядка.

(2.167) можно переписать в виде

.

Второй интеграл в этом выражении заведомо мал, если ; первый интеграл берется явно (см. [9]) и (2.166) переходит в

, (2.168)

где — полином Лагерра m-го порядка. Отметим, что условием сходимости ряда в (2.168) является , где — конфокальный параметр пучка. Пользуясь свойствами рядов с полиномами Лагерра [9], выражение (2.168) можно переписать в виде ряда по степеням . Первые два члена этого ряда имеют вид

, (2.169)

где — обычный гауссов пучок вида (2.163), а

(2.170)

— квадратичная по поправка.