2. Эффект Доплера

Пражский профессор Христиан Доплер (1803 – 1853) в 1842г. опубликовал статью «Об окрашенном свете двойных звезд и некоторых других небесных светил», где впервые рассмотрел вопрос об изменении частоты излучения света в зависимости от движения его источника или приемника. Предсказанный им эффект относится к колебаниям любой природы, так что его механизм действия можно проиллюстрировать на примере расходящихся кругов по поверхности воды от периодически погружаемого в воду поплавка i. Если поплавок i покоится, то на водной глади образуется ряд вложенных колец различного диаметра, имеющих общий центр (рис. 10.11а); если поплавок i равномерно и прямолинейно перемещается, продолжая совершать колебания, то центры окружностей сместятся вдоль оси x (рис. 10.11б).

Рисунок 10.11 Эффект Доплера

источник колебаний i покоится, приемник A движется со скоростью v₁ по направлению к источнику (а); приемник A покоится, источник i движется со скоростью v₂ по направлению к приемнику (б). В обоих случаях будет наблюдаться изменение длины волны λ.

Обозначим параметры собственных колебаний поплавка следующими буквами: f – частота колебаний, T – период, λ – длина волны, а через c – скорость распространения волны по поверхности воды. Тогда для неподвижного источника и покоящегося наблюдателя будут справедливы следующие соотношения: λ = cT, λ = c/f, T = 1/f.

Теперь вообразите, что поплавок i никуда не перемещается, а вы в роли наблюдателя (или приемника A) плывете на лодке со скоростью v₁< c вдоль оси x по направлению к источнику колебаний i (рис. 9.1а). Понятно, что длина волны λ для вас уменьшится и станет равной λ₁. Так как вы плывете навстречу волне, набегающей на вас, то относительная скорость окажется равной сумме скоростей: c + v₁. Очевидно, что длина волны λ₁ во столько раз меньше длины волны λ, во сколько раз c меньше c + v₁, т.е.

   , (10.1)

   ,  (10.2)

    . (10.3)

Период колебаний T для вас также сократится и будет равным T₁, а частота f, напротив, увеличится и станет равной f₁:

,     (10.4)

,   (10.5)

   . (10.6)

Если лодка останется неподвижной относительно водной поверхности, а источник колебаний i начнет перемещаться со скоростью v₂ < c по направлению к приемнику A, как указано на рис. 9.11б, то воспринимаемая длина волны λ₂ также уменьшится, но уже в иной пропорции. Так как поплавок движется в ту же самую сторону, что и волновой фронт, их относительная скорость будет равна разности двух скоростей: c – v₂. Длина λ₂ во столько раз меньше длины λ во сколько раз c – v₂ меньше c; аналогично в отношении периода T₂ и частоты f₂:

,  (10.7) 

 

,  (10.8)

    ,  (10.9)

,   (10.10)

   . (10.11)

Важно подчеркнуть, что сокращение длины волны и периода колебаний при движущемся наблюдателе и покоящимся, источнике происходит за счет сложения скоростей c + v₁, а при движущемся источнике и покоящемся наблюдателе это сокращение происходит уже по другому закону – за счет вычитания скоростей: c – v₂. Таким образом, благодаря эффекту Доплера принцип относительности движения источника и приемника волн нарушается: по измеренным параметрам волнового процесса всегда можно определить, что относительно чего движется – либо источник движется относительно приемника, либо приемник движется относительно источника, другими словами, движение источника и приемника носит абсолютный характер.

Если в рассмотренных двух случаях направления скоростей v₁ и v₂ изменить на противоположные, то в обоих случаях будет наблюдаться увеличение длины волны и периода колебаний, которое будет происходить тоже по различным законам. В табл. 10.2, помимо четырех типов раздельного движения источника и приемника колебаний, указаны еще четыре случая их совместного перемещения. Две последние формулы свидетельствуют: когда источник и приемник колебаний движутся в одном направлении с одинаковой скоростью, приемник будет регистрировать ту же самую длину волны, период и частоту колебаний, что и при покоящихся источнике и приемнике. Следовательно, такие приборы, как интерферометр Майкельсона, в котором источник света и приемник (в качестве приемника могут выступать зеркала и экраны детекторов, где получают интерференционные полосы) перемещаются совместно, не пригодны для регистрации своего движения относительно светоносной среды (если предположить, что таковая имеется); все волновые процессы, включая интерференционную картину, в таких приборах будут происходить так, как будто бы прибор неподвижен.

Таблица 10.2

Состояния приемника A и источника i	Принимаемая длина волны λ'	Принимаемая частота f '
A и i сближаются: A движется, i покоится
A и i сближаются: A покоится, i движется
A и i удаляются: A движется, i покоится
A и i удаляются: A покоится, i движется
A и i оба движутся навстречу друг ругу на сближение
A и i оба движутся в противоположные стороны на удаление
A и i оба движутся в положительном направлении оси x
A и i оба движутся в отрицательном направлении оси x

Формулы, вошедшие в табл. 10.2, были получены Доплером, но все они носят частный характер, так как справедливы только для случая, когда приемник A и источник i находятся на оси x и их векторы скорости v₁ и v₂ направлены строго по горизонтали. Поэтому современный радар – системы не имеют возможности измерении скорости при движении источника и приемника в разных направлениях.

Выше перечисленные формулы справедливы; сейчас ставится задача по получению общих формул для длины волны λ' и частоты колебаний f в общем виде. Данную задачу разобьем на две подзадачи, рассматривающие отдельно движение наблюдателя A при покоящемся источнике i (рис. 10.12а), и движение источника i при покоящемся наблюдателе A (рис. 10.12б). На рис. 10.12а вычерчен треугольник 0AA', в котором сторону λ выразим через две другие стороны λ' и β₁λ', а также через прилегающие к λ косинусы углов π – θ₁ и θ₁ – φ₁, получим:

λ = λ'cos(θ₁ – φ₁) + β₁λ'cos(π – θ₁) или

. (10.12)

Из рис. 10.12б треугольник 0iA аналогичным образом находим формулу для измененной длины волны λ' для случая движения источника i при покоящемся наблюдателе A:

λ' = λcos(θ₂ – φ₂) + β₂λcos(π – θ₂) или

λ' = λ[cos(θ₂ – φ₂) – β₂cos θ₂]. (10.2)

Рисунок 10.12. Геометрическая схема расположения источника

i приемник A и волнового фронта, отвечающего длине волны λ. Имеем два случая: источник колебаний i покоится в точке 0, приемник A движется с относительной скоростью β₁ по направлению к точке A' (а); приемник A покоится, источник i движется по горизонтали с относительной скоростью β₂ (б).