5.2. Нормальные напряжения при изгибе

Для вывода основных расчетных формул рассмотрим частный случай плоского изгиба балки - состояние чистого изгиба. Это состояние дефор­мации наблюдается тогда, когда на каком-то участке балки действует толь­ко изгибающий момент М^, а поперечная сила равна нулю: Qy = О (напри­мер, рис. 5.16).

Экспериментальные исследования балок при чистом изгибе показыва­ют, что:

1. плоские сечения балки остаются плоскими после нагружения, испы­тав лищь некоторый поворот друг относительно друга;

2. продольные волокна балки не давят на выще и ниже расположенные волокна, они либо растянуты, либо сжаты. Деформация волокон по шири­не сечения не меняются;

3. нейтральный слой, перпендикулярный плоскости симметрии балки, отделяет область растянутых волокон от области сжатых волокон.

Таким образом, нормальные напряжения в произвольной точке по­перечного сечения прямо пропорциональны величине изгибающего мо­мента и расстоянию от нейтральной оси и обратно пропорциональны мо­менту инерции сечения относительно оси.

Максимальное напряжение в анализируемом сечении при изгибе возни­кает в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии:

Величина = JJ\ym,x\ называется моментом сопротивления сечения при изгибе, она рассчитывается относительно нейтральной (центральной) оси О, поперечного сечения. В наиболее же опасном сечении по длине бал­ки

Равенство нулю статического момента & площади сечения относитель­но нейтральной линии (оси х) говорит о том, что нейтральная линия прохо­дит через центр тяжести поперечного сечения.

Нулевое значение центробежного момента инерции сечения опреде­ляет оси хиу как главные центральные, т. е. рассматриваемый вид чистого плоского изгиба реализуется когда балка деформируется в главной плоско­сти (такой изгиб является прямым).

Значение изгибающего момента в сечении есть (с учетом знака момента и положения осей х, у) интеграл:

Величина EJx называется жесткостью балки при изгибе, она характери­зует способность конкретной балки сопротивляться изгибу, тогда расчет­ная формула для подсчета напряжений запишется следующим образом:

Замечание. В формуле (5.10) знак минус обычно опускается (он свя­зан с выбором направления осей координат сечения и знаков изгибающего момента). В расчетах учет знака изгибающего момента определяет зоны растянутых и сжатых волокон, а у характеризует расстояние до соответ­ствующих волокон. Поэтому общепринятая форма записи зависимости (8.10) следующая:

При попереч­ном прямом изгибе предпосылки, положенные в основу её вывода, нару­шаются: поперечные сечения бруса вследствие возникновения в них каса­тельных напряжений искривляются (гипотеза Бернулли несправедлива); кроме того, в этом случае имеет место, хотя и весьма незначительное, вза­имное надавливание волокон. Тем не менее, как показывают эксперимен­тальные и точные теоретические исследования, эта формула даёт значения нормальных напряжений и для случая поперечного изгиба с точностью, вполне допустимой для практических расчётов.

№5

Перемещения при изгибе. Дифференциальное уравнение изогнутой оси бал­ки.