Лекиии № 4-5

Изгиб. Внутренние силовые факторы в поперечных сечениях балки. Напряжения в балке при чистом изгибе.

5. Изгиб

5.1. Внутренние силовые факторы при изгибе

Под изгибом понимается такой вид нагружения бруса, когда в его по­перечных сечениях возникают только изгибающие моменты ("Mr, MJ и по­перечные (перерезывающие) силы (Qx, Qy) (рис 5.1а).

Д

ля систематизации и упроще­ния анализа элементов конструк­ций, испытывающих изгиб, вво­дится следующая классификация:

- чистый изгиб, если в попереч­ных сечениях действует единственный силовой фактор -изгибающий момент (рис. 5.16);

- поперечный изгиб, если в по­перечных сечениях наряду с изги­бающим моментом действует так­же поперечная сила (рис. 5.1 в).

Начнем анализ напряженно-де­формированного состояния балок с плоского изгиба. Он реализуется, когда изгибающие моменты и по­перечные силы действуют в одной силовой плоскости и эта плоскость является плоскостью симметрии балки (рис. 5.16, в). Такой изгиб носит также название прямого изгиба.

Определение и построение эпюр (графиков) внутренних сило­вых факторов (при плоском изгибе Мх, Qy) в поперечных сечениях вдоль оси балки проиллюстрируем на примере двухопорной балки с грузом F. К этой модели (или рас­четной схеме) балки сводится рас­чет конструкций пролетов мостов.

эстакад, машин, станков и т.п. Расчетная схема балки (рис. 5.2а) состоит из собственно самой балки, двух опор А и В, сосредоточенной внешней ак­тивной силы F.

Конструктив­но шарнирно не­подвижная опора не препятствует повороту балки вокруг оси шар­нира, но не дает возможности балке переме­щаться вдоль своей оси и в перпендикуляр­ном направл^е-нии. Действие шарнирно непо­движной опоры А заменяется ре­акцией Ra, направление ко­торой заранее неизвестно, и поэтому она представляется двумя проекция­ми на ось балки и на перпендику­лярное к оси направление. Наличие шар­нирно подвиж­ной опоры (кат­ка) не препят­ствует свободно­му повороту бал­ки вокруг оси шарнира и сво­бодному посту-

пательному перемещению вдоль оси балки, но не позволяет балке сме­щаться перпендикулярно оси балки. Поэтому воздействие шарнирно по­движной опоры В заменяется одной вертикальной реакцией Rb. Влияние груза моделируется сосредоточенной силой F

Определяются опорные реакции {Кау, Raz, Rb). При плоском изгибе для балки как жесткого тела можно составить три уравнения равновесия, сле­довательно, заданная расчетная схема балки является статически опреде­лимой.

В сопротивлении материалов принято записывать уравнения равнове­сия в следующей форме:

1) сумма проекций всех сил на ось балки (ось г) равна нулю, в нашем случае это уравнение примет вид

2. сумма моментов всех сил относительно опоры А равна нулю: '£mom^(F^) =

3. сумма моментов всех сил относительно опоры

Замечание.

1. Выбор опор А и В за центры приведения объясняется тем, что через опоры проходят линии действия неизвестных реакций Rav, Rb и уравнения получаются проще по виду.

2. В уравнениях моментов условно принято, что момент силы, пытаю­щийся повернуть балку относительно выбранного центра против часовой стрелки, положителен, в другую - отрицателен.

3. Для проверки полученных результатов рекомендуется использовать уравнение - сумма проекций всех сил на вертикальную ось у равна нулю.

Разобьем балку на два характерных участка нагружения (рис. 5.2г) и проведем произвольное сечение /-/ на первом участке на расстоянии : от опоры А. Применяя метод РОЗУ, заменяем действие отброшенной (правой) части на оставшуюся силовыми факторами Mr и 2„(рис. 5.2д). Использова­ние метода сечений на втором участке проиллюстрировано на рис. 8.2е. Из условия равновесия оставшейся (левой) части получаем:

• поперечная сила в сечении /-/ численно равна реакции в опоре /i: Qy = RAy. Поперечная сила Qy равна сумме проекций всех внешних сил (актив­ных и реактивных), приложенных к оставшейся части балки.

• изгибающий момент в сечении /-/ равен моменту силы RAy относи­тельно сечения: = Ra/ Изгибающий момент Л/, равен сумме моментов всех внешних сил приложенных к оставшейся части балки относительно выбранного сечения.

Правша знаков поперечной силы Qy и изгибающего момента Мх:

1. Если сумма внешних сил, лежащих по левую сторону от сечения, дает равнодействующую направленную вверх, то поперечная сила в сече­нии считается положительной, а если вниз - отрицательной.

Если сумма внешних сил, лежащих по правую сторону от сечения, дает равнодействующую направленную вниз, то поперечная сила в сечении по­ложительна, а если вверх - отрицательна (рис. 5.2ж).

2. Если относительно выбранного сечения внешний силовой фактор стремится изогнуть балку так, что сжатые волокна сверху, то момент от этого силового фактора положителен, в противном случае - отрицателен (рис. 5.2з).

В нашем случае на первом участке балки поперечная сила постоянна и положихельна а изгибающий момент положителен и задается линейной по : функцией (реакция Клу пытается изогнуть балку относительно сечения /-/ так, что сжатые волокна сверху - балка как бы «зажата» в этом сечении):

Можно для определения внутренних силовых факторов в сечении //-// рассмотреть равновесие правой части, тогда

Таким образом, эпюра поперечной силы Qy постоянна вдоль оси балки (рис. 5.2и). Она испытывает скачки в местах приложения сил Ra„ F, Rb (если идти слева направо, то в сторону их действия). Эпюра изгибающего момента М имеет два характерных линейных участка, где на первом зна­чение этого фактора возрастает от нуля (в шарнире А) до максимальной ве­личины Fab/(a + b) в месте приложения силы F, а на втором - линейно убывает до нуля (в шарнире В). С точки зрения прочности опасным являет­ся место приложения внешней силы F, так как здесь изгибающий момент достигает максимальной величины и поперечная сила (в зависимости от соотношения аи Ь) также имеет наибольшее значение.

Правильность построения эпюр поперечной силы и изгибающего мо­мента можно проверить при помощи дифференциальных зависимостей Журавского между Мх, Qy и распределенной нагрузкой q.

Для вывода этих зависимостей рассмотрим произвольную балку (рис. 5.3). Пусть к ней приложены внешние силы F,, F2, F„ и распределенная нагрузка q(:), действующая по произвольному закону (положительное направление указано на рисунке - вверх). Выделим из бруса элемент дли­ны dz. В пределах длины dz можно считать нафузку q распределенной равномерно. Слева и справа в поперечных сечениях выделенного эле­мента приложены положи­тельные силовые факторы Qy, Мх в соответствии с обуслов­ленным выше правилом зна­ков, отличающиеся на dQy и dMx соответственно.

Таким образом, поперечная сила Qy есть производная от изгибающего момента Мх по длине бруса, а интенсивность внешней распределенной на­грузки q - это, в свою очередь, производная от поперечной силы. Обраща­ясь к задаче об изгибе балки силой F (рис. 5.2), видим, что на участке, где поперечная сила Qy постоянна и положительна, эпюра изгибающего мо­мента Мх линейно возрастает, а на участке, где Qy постоянна и отрицатель­на эпюра изгибающего момента Мх линейно убывает.