5.3. Перемещения при изгибе

5.3.1. Дифференциальное уравнение упругой линии

Как и в предыдущей лекции мы рассматриваем прямой поперечный изгиб бруса, при котором его ось, искривляясь, остается в силовой плоско­сти.

Изогнутая ось, представляющая собой геометрическое место центров тяжести поперечных сечений деформированного бруса, называется упру­гой линией.

В результате прогиба балки центр тяжести каждого поперечного сече­ния получает вертикальное и горизонтальное перемещения, а само сечение поворачивается на некоторый угол (р вокруг своей нейтральной оси (девиа­ция сечения). На основе гипотезы малых деформаций в сопротивлении ма­териалов при изгибе балок горизонтальные перемещения считаются ни­чтожно малыми по сравнению с вертикальными, и не учитываются. Верти­кальные же перемещения являются основным определяющим фактором, их обычно и называют прогибами (рис. 5.5).

В инженерной практике большое значение имеет оценка прогибов и со­поставление их наибольших значений с допускаемыми, определяемыми условиями работы балки, т. е. расчет балок на жесткость.

Опираясь на гипотезу малости деформации, можно считать, что tgcp = ср и, следовательно.

При выводе формулы нормальных напряжений при изгибе была получе­на зависимость:

Две последние формулы позволяют получить дифференциальное урав­нение упругой линии или дифференциальное уравнение изгиба балки в виде:

В формуле (5.17) учтено, что положительный изгибающий момент (сжа­тые волокна сверху) соответствует положительной кривизне балки. Значе­ния прогибов балки получаются, таким образом, двукратным интегрирова­нием уравнения (9.3). В уравнении (9.3) под М„ следует понимать его ана­литическое выражение как функцию от координаты z - М,: (z).

Проинтегрировав один раз уравнение (9.3), получим зависимость углов наклона касательных к упругой линии (р, равных углам поворота попереч­ных сечений.

В результате второго интегрирования получаем уравнение упругой ли­нии балки (уравнение прогибов).

Пример I. Определить прогиб консольной балки длины / под действием груза F. Жесткость балки на изгиб EJx.

Решение.

1. Эпюры Q, по длине балки представлены на рис. 9.2. Аналитиче­ское выражение для изгибающего момента по всей балке (см. сечение с координатой Z на рис. 9.2): М = - F-z.

2. Уравнение (9.3) для нашего случая запишется в виде

Заметим, что если балка имеет несколько участков нагружения, то опре­деление ее упругой линии непосредственным интегрированием дифферен­циального уравнения (5.3) становится сложным из-за необходимости нахо­ждения большого числа произвольных постоянных из граничных условий. Поэтому в общем случае нафужения балок упругую линию, как правило, ищут другими методами, где упрощено нахождение постоянных интефи-рования.

5.3.2. Метод начальных параметров

В общем случае, когда балка имеет несколько участков нафужения, уравнение (9.3) составляется отдельно для каждого участка. При двукрат­ном интегрировании количество постоянных интефирования равно удво­енному числу участков.

Разработаны специальные приемы интефирования, обеспечивающие равенство этих постоянных для всех участков. В результате общее количе­ство постоянных равно двум независимо от числа участков.

Эти постоянные, обозначаемые С и D, представляют собой соответ­ственно угол поворота сро и прогиб уо в начале системы осей координат, умноженные на жесткость сечения £Л при изгибе (изгибная жесткость при этом полагается постоянной по длине балки). Этот метод интегрирования называется методом начальных параметров. Его применение предполага­ет выполнение определенных правил.