6.3. Деформированное состояние и потенциальная энергия в точке

Деформированное состояние, как правило, в разных точках тела различ­но, т.е. является неоднородным. Но в пределах малого (элементарного) вы­деленного элемента (рис. 6.1) его можно считать однородным.

Деформация любого элемента может быть охарактеризована двумя ее видами - линейной и угловой (сдвигом), причем линейная деформация связана с нормальными напряжениями, а угловая - с касательными. В слу­чае сложного напряженного состояния в точке (рис. 7.1) связь между напряжениями и деформациями в точке устанавливается на основе прин­ципа независимости действия сил при соблюдении гипотезы упругости, ги­потезы изотропности и гипотезы малости деформаций При упругой работе конструкции составляющие деформации (е» Бу, е^, уху, Ууг, Ухг) в её точках очень малы по сравнению с единицей:

• относительные удлинения (е„ ву, - тысячные и десятитысячные доли единицы;

- углы сдвига {уху, Ууг, Ухг) - тысячные и десятитысячные доли радиана. Рассмотрим элементарный параллелепипед (рис. 7.4), по всем граням

которого действуют все виды напряжений и деформаций. Пусть сначала действует только напряжение и^, тогда параллелепипед находится в усло­виях одноосного растяжения вдоль оси х и его относительные продольные деформации в направлении осей х, у, z будут:

• по закону Гука при растяжении вдоль оси х

Аналогично, если действует только нормальное напряжение Оу, получим

(6.8)

r > ^

Рис. 7.4. Деформации элементарного параллелепипеда при действии только нормального напряжения и деформации сдвигов в плоскостях х^, х, спотлртг.тлринп

По принципу независимости действия сил при совместном действии oi, Чу, (7г получаем:

Касательные напряжения вызывают искажение формы параллелепипеда (сдвиги), но не сказываются на линейной деформации ребер, поэтому при выводе зависимостей (7.10) их влияние не рассматривалось.

Касательные напряжения в плоскости Ху (т^у = Хух) вызовут деформацию сдвига граней параллелепипеда, параллельных этой плоскости, но не будут влиять на деформацию других граней. Соответствующее утверждеш5е справедливо и для граней, параллельных плоскостям х:, yz (рис. 6.4), т. е. на основании закона Гука при сдвиге получаем

Объединение выражений (6.6) и (6.7) дает аналитическое выражение обобщенного закона Гука, определяющего связь компонент напряжений и деформаций в точке.

Поскольку относительное изменение объема не зависит от выбора осей координат, то, аналогично, рассматривая относительное изменение объема через деформации Ех, Еу, е, получим

Подставив в уравнение (6.12) значение главных деформаций (7.12), по­лучим выражение изменения относительного объема через напряжения

Из формулы (6.14) следует, что при = 0,5 относительного изменения объема не происходит.

Определим энергию, затраченную на деформацию. Полная удельная по­тенциальная энергия деформации в точке в пределах упругости в терминах главных напряжений и главных деформаций на основе постулата о незави­симости действия сил может быть определена как

Расчленим напряженное состояние в исследуемой точке, характеризуе­мое главными напряжениями ai, сг, оз на два:

— в первом из них объем меняется, а форма элементарного главного па­раллелепипеда сохраняется;

- во втором объем параллелепипеда не меняется, в изменяется его фор­ма.

Определим теперь объемную деформацию через главные деформации Si, 82, ез. Объемная деформация характеризуется относительным изменени­ем объема, которое проще всего определить как изменение единицы объема

Первому напряженному состоянию соответствует значение удельной потенциальной энергии изменения объема - и„б и равные по всем граням нормальные напряжения (то (рис. 7.5). При этом из (7.16) следует