4.3. Напряжения и деформации при кручении. Условия прочности и жесткости

Оценим характер распределения касательных напряжений в попереч­ном сечении сплошного вала радиуса R при кручении (рис. 4.5).

А нализируя деформацию элемента вала длины dz при кручении, при­мем, что поверхностное продольное волокно ав повернется на угол уя (ун -угол сдвига на поверхности, ур - угол сдвига аналогичного волокна cd дли­ны dz в теле вала на рас­стоянии р от оси); угол закручивания, при этом, сечения, проходящего через точку О относи­тельно сечения, находя­щегося от него на рас­стоянии dz будет d(p.

Как и в случае трубы из общей дуги bb' сфе­рического треугольника abb' и центрального угла b'Ob следует

yRdz=Rd<p. (4.6) Для дуги dd' этого же центрального угла Ь'ОЬ, находящейся на расстоя­нии р от оси вала {О <р

< R), аналогичное выражение имеет вид (рис. 4.5)

Закон Гука для элемента толщины dp, аналогичного тому, что вырезал­ся из трубы, но находящегося на расстоянии р от оси вала (рис. 5.5) запи­шется как

'Р (4.19) При неизменном по длине / вала значении Т и постоянном поперечном сечении (Jp = const) имеем:

Выражения (4.6), (4.7) и (4.8) определяют характер распределения каса­тельных напряжений по площади поперечного сечения, а именно:

Выражение (4.9) позволяет сделать вывод, что, во-первых, касательные напряжения при кручении распределены неравномерно, а во-вторых, они линейно зависят от расстояния р, достигая максимального значения tr =

Тшах на площадках сечения у поверхности вала и равны нулю на оси. Так как крутящий момент Т в сечении является интегральной характеристикой этих касательных напряжений (рис. 5.5), то он равен.

Здесь Jp - полярный момент инерции поперечного сечения. Откуда определяем величину максимального касательного напряжения tr в по­перечном сечении у поверхности вала.

где [т] - принятое допустимое значение касательных напряжений для материала вала.

Также как при оценке прочности стержня на растяжение-сжатие (3.16) -(3.18) условие прочности при кручении вала 1. Проверочный расчет. По известным размерам (даны геометрические параметры сечения) и материалу вала (задано [т]) проверяется возмож­ность конструкции выдержать заданную нагрузку в виде крутящего момен­та Г в анализируемом на прочность сечении, используя выражение (4.14).

2. Проектный расчет. По известному значению крутящего момента в сечении Т и материалу вала ([т]) подбираются необходимые размеры по­перечного сечения для обеспечения безопасности работы по величине по­лярного момента сопротивления.

3. Определение допускаемой внешней нагрузки [Т] (или установление работоспособности). По известным геометрическим параметрам сечения {Wp - задано) и материалу вала ([т]) находится допускаемая величина внешней нафузки:

Для пластического материала при статическом нагружении обычно при­нимают Tnptd = Tr (предел текучести при сдвиге), а в случае хрупкого мате­риала - Тщед = тв (предел прочности). Значение [п] зависит от отрасли тех­ники, назначения и вида конструкции.

При расчете стальных валов в случае статистического нагружения мож­но использовать эмпирическую зависимость [т] = (0,5 - 0,6) [а].

Замечание. Большинство валов испытывают при работе переменные по времени нагрузки, они также воспринимают одновременно и изгибные нагрузки, поэтому их нагружение нельзя считать статическим и в практике машиностроения для стальных валов в зависимости от материала и усло­вий работы принимают более низкий диапазон изменения допускаемых напряжений, а именно [т] = 20...40 МПа.

Произведение G-Jp называется жесткостью вала при кручении и харак­теризует способность конкретного вала сопротивляться скручиванию. В технике наряду с оценкой прочности валов очень важное значение имеет соблюдение условий жесткости, т. е. условий, исключающих появление при эксплуатации чрезмерных деформаций. Условие жесткости для валов имеет очевидный вид