3.4. Энергия деформации растянутого стержня

Рассмотрим процесс деформирования стержня с энергетических пози­ций. Пусть нагружение стержня силой (рис. 3.1, 3.4) происходит при медленном увеличении силы от нуля до своего конечного значения, равно­го F. Такое нагружение называется статическим. Внешние силы {F, Ra,), приложеные к стержню, совершают работу W, которая частично переходит в потенциальную энергию деформации тела U и кинетическую энергию К. При статическом нагружении можно считать А" = О, т.е. U= W(pHC. 3.5).

Построим диаграмму растяжения стержня силой F на упругом участке (по оси координат отложим значение силы F, а на оси абцисс - соответ­ствующие им абсолютные перемещения А/).

Из рис. 3.5 видно, что сила F не является постоянной на абсолютном перемещении А/. Элементарная работа текущей силы будет равна:

Множитель 1/2 показывает, что сила и удлинение постепенно достига­ют своих конечных значений - работа есть площадь заштрихованного тре­угольника на рис. 3.5.

а- 1 : — = -<у-г. 2Е 2

Так как объем всего стержня V= А 7, то значение удельной потенциальной энергии стержня, т. е. энергии, приходящейся на единицу объема будет

Потенциальная энергия U (как и работа W) вы­ражается в джоулях (Дж). Удельная потенциаль­ная энергия и выражается в отношении джоуля на метр кубический Дж/м^ (/ Дж/м^ = 1 Н-м/м^ = 1 Н/м' = 1 Па).

Расчет удельной потенциальной энергии конструкции необходим при прочностном анали­зе на основе энергетических критериев прочности (т.е. условий или гипо­тез прочности).

Лекция № з

Сдвиг и кручение. Внутренние силовые факторы в поперечных сечениях балки. Напряжения в балке при кручении. Перемещения при кручении. За­кон Гука при сдвиге.

4 . СДВИГ И КРУЧЕНИЕ 4.1. Понятие о кручении и сдвиге Кручением называется такой вид деформации брусьев, при котором в любом поперечном сечении внутренние усилия приводятся только к крутя­щему моменту Т = Mz (рис.4.1), а остальные силовые факторы равны нулю {N = Qx = Qy = 0; Мх = Му= 0).

Рие. Деформация чидаого елви> ■ -лриого зшвмев» »рубн врр злкру

Понятия о кручении и сдвиге введем на основе рассмотрения закручи­вания тонкостенной трубы внещним моментом Г(рис. 4.1).

В начале, как обычно при прочностном анализе, определяем реактив­ный скручивающий момент в заделке - в нашем случае внешний скручива­ющий момент равен и противоположен моменту в заделке Mq^ = Т (чис­ленно). Поскольку условие равновесия стержня как тела в пространстве сводится к равенству нулю суммы момента внешнего и реактивного отно­сительно оси стержня.

Применяем метод сечений и проводим произвольное сечение 1—I, оставляем для уравновешивания нижнюю часть стержня. Равнодействую­щая внутренних силовых факторов в сечении есть крутящий момент Т.

Опыт показывает, что при кручении круглых валов:

- плоские поперечные сечения до деформации остаются плоскими и по­сле приложения нагрузок (это положение справедливо для сечений, уда­ленных от торцов вала на расстояние, равное характерному размеру по­перечного сечения), сами сечения при этом не искажаются;

• расстояние между любыми двумя поперечными сечениями не меняет­ся;

• все образующие поверхности вала (линии, параллельные его оси) по­ворачиваются на один и тот же угол (рис. 5.1, 5.3, 5.5), называемый углом сдвига.

Деформация вала при кручении происходит за счет сдвига одного сече­ния относительно другого из-за касательных напряжений т, действующих в сечении.

Крутящий момент Т в сечении есть интегральная характеристика этих касательных напряжений. Для тонкостенной трубы в расчетах можно при­нять, что касательные напряжения т равномерно распределены по толщине трубы 5, тогда:

Вырежем у исследуемого сечения 1-1 объемный элемент со сторонами Rcpd(p, ct, 8, где dtp - элементарный угол закручивания.

будут действовать (по закону парно­сти равные) каса­тельные напряже­ния. Такой вид напряженного со­стояния, при ко-

тором на боковых гранях выделенного объемного элемента действуют только касательные напряжения, а фронтальные грани (внутренняя и внешняя поверхности) свободны от напряжений, называется чистым сдвигом и относится к плоскому напряженному состоянию (рис. 4.1).

Рассмотрим деформацию вырезанного элемента (считаем его практиче­ски плоским, ось Z направляем параллельно оси стержня, ось х - по каса­тельной к окружности сечения - рис. 4.1,4.2).

Пусть поперечное волокно 1-2 повернулось к продольному волокну 1-3, тогда происходящее при этом уменьшение прямого угла есть у = Yxz -полная относительная деформация сдвига. Если на тот же угол повернется продольное волокно 1-3, то этот угол сдвига обозначают В обоих слу­

аях деформации у„ и у„ и связанные с ними напряженные состояния оди­наковы, так как один вариант получается из другого путем жесткого пово­рота на один и тот же угол сдвига у, т.е. без дополнительной деформации элемента. Двум рассмотренным вариантам полностью эквивалентен третий (рис. 5.2), где каждое из волокон поворачивается на половинный угол. В результате имеем условие взаимности сдвигов

y zx= Y«. (4.3) Половинные относительные деформации £xz=l/27„, Sxy=l/27xy, еу2=1/2ууг вводятся обычно при совместном анализе изменения деформаций и напря­жений в точке при преобразовании системы координат (т.е. при переходе к другим площадкам около выбранной точки).

Рассмотрим^ продольный эле­мент аЬ круглого вала длиной dz (рис.4.3) При кручении он де­формируется и перейдет в поло­жение аЬ' причем

из сферического

треугольника abb' следует, что bb' = ydz, а из центрального угла ОЬЪ име­ем bb'=Rcp-d<p {dcp — элементарный угол закручивания, у = уа- угол сдви­га). Эксперимент показывает, что при постоянном вдоль оси вала крутя­щем моменте Т угол сдвига у также постоянен, т. е. полный угол закручи­вания <р есть

В пределах линейной зависимости между т и у справедливы соотноше­ния закона Гука при сдвиге: