7.2. Задача Эйлера

Рассмотрим равновесие стержня, сжатого центральной силой F (рис. 7.3). Эту важную для инженерной практики задачу о продольном изгибе прямого стержня решил в середине XVIII в. Леонард Эйлер.

Пусть по какой-то причине сжатый стержень несколько изогнулся (рис. 7.3). Проанализируем условия при которых возможно равновесие стержня с изогнутой осью.

Условие sin 5R/ = О выполняется при R = тт; где п — целое; и = 1, 2, 3 ... (и = О дает F = О, что также не соответствует условию задачи). При и = / мы получаем минимальное значение сжимающей силы (носящей название

Формула (7.5) дает значение критической силы для стержня с шарнирно закрепленными концами. Для стержней с произвольным закреплением концов формула Эйлера приобретает вид

Возможная форма равновесия стержня АВ длины / при F = F„p имеет вид (пунктир), показанный на рис. 13.5. Из сравнения рис. 7.3 и рис. 7.5 видно, что стержень длинной / с одним защемленным концом можно рассматривать как стержень длиной 21 с шарнирно закрепленными конца­ми, ось которого показана на рис. 7.5 пунктиром, т. е. //= 2.

Формула Эйлера, выведенная на основе закона Гука, применима при условии, что критическое напряжение не превышает предела пропорцио­нальности материала стержня <т„„. Из формулы (7.6) следует

Условие применимости формулы Эйлера

Определение приведенной длины для стержней с различными способа­ми крепления концов рассмотрим на примере стержня, жестко заделанного нижним концом (рис. 7.5).

При использовании в расчетах формулы Эйлера должна быть произве­дена проверка ее применимости (условия 7.8 или 7.9). Допускаемая нагрузка при оценке устойчивости

3. Так как гибкость стойки больще предельной (1>1.„р), то критическую силу определяем по формуле Эйлера:

Здесь при расчете принято: модуль упругости Е=2,15-10' МПа=2,15-10' •10^ Н/м\ Jn,i„= 298850-10'V, 1 = 2,5 м, поскольку все размерные величины в формулах должны представляться в одной системе единиц (по возможно­сти в СИ).

4. Определяем фактический коэффициент запаса устойчивости:

Вывод. Фактический коэффициент запаса устойчивости (и^, = 4,14) больше требуемого {[п]у = 3,5), т. е. условие устойчивости выполняется.

7.3. Потеря устойчивости при напряжениях, превышающих предел пропорциональности

При оценке устойчивости стержней, сжимающие напряжения в которых превосходят предел пропорциональности, формула Эйлера неприменима.

Определение устойчивости стержней с гибкостью, меньшей предель­ной, производится по эмпирическим формулам.

Для некоторых марок легированных сталей Х„р =80... 70, для чугуна -80, для дерева - 1,р =110.

В уравнении Ясинского (7.12) для материала СтЗ а = 310 МПа, Ь= 1,14 МПа (рис. 7.7)

Для чугунов при Я < Я„р= 80 принимают параболическую зависимость

Так же, как при расчетах стержневых конструкций на прочность при расчете на устойчивость различают три вида расчетов:

- проверочный, при котором определяется фактический коэффициент запаса устойчивости (пу) и сравнивается с требуемым или нормативным (["Iv):

- проектный (определение требуемых размеров поперечного сечения):

в последнем случае после определения J™„ следует вычислить радиус инерции /min и гибкость \. Затем проверить возможность использования формулы Эйлера. В случае ее неприменимости необходимо сделать пере­счет, используя при этом эмпирические зависимости (формулу Ясинского).