6.3. Вихревое движение жидкости

Интенсивность вихря. Как показано в § 6.1, угловая скорость вращения жидкого элемента выражается через производные ско­рости течения формулами (6. 2). Угловой скорости при этом при­писывается векторный смысл: по определению, это — вектор, нор­мальный к плоскости вращения частицы и ориентированный таким образом, что из его конца вращение кажется происходящим против часовой стрелки. Величина этого вектора равна геометрической сумме его компонентов ω_x, ω_y, ω_z:

. (6. 13)

Как и всякий вектор, вектор угловой скорости имеет некоторое распределение в пространстве — «вихревое поле». Отметим, что в некоторых курсах гидромеханики удвоенную величину угловой скорости вращения называют «вихрем скорости» или «ротором ско­рости»; в частности, в случае плоского течения

.

Точно так же, как была определена линия тока, можно ввести по­нятие вихревой линии — это такая линия, в каждой точке которой вектор угловой скорости направлен по касательной к ней. Очевидно, вихревая линия представляет собой мгновенную ось вра­щения частиц жидкости, располагающихся на ней. Дифференци­альные уравнения вихревых линий подобны уравнениям линии тока (6. 5а):

. (6. 14)

Р ис. 57.

Вихревые линии, проведенные через все точки замкнутого эле­ментарного контура, взятого в потоке (рис. 57), образуют вихре­вую трубку (аналог элементарной струйки, поверхность ко­торой составлена из линий тока). Обозначим площадь нормального сечения вихревой трубки через dF, и будем считать угловую ско­рость вращения ω постоянной по ее сечению.

Интенсивностью dJ элементарной вихревой трубки называется удвоенное произведение угловой скорости вращения на площадь сечения:

. (6. 15)

Интенсивность вихревой трубки конечных размеров, для которой нельзя пренебрегать изменением угловой скорости по сечению, равна

,

где ω_cp — средняя величина угловой скорости по сечению F вих­ревой трубки.

Циркуляция скорости. Теорема Стокса. Выделим в движущейся жидкости произвольный контур l, в некоторой точке которого век­тор скорости равен w, а его проекция на касательную к контуру равна w_ll (рис. 58). Произведение этой проекции на длину элемента контура называется элементарной циркуляцией dГ:

.

Циркуляцией Г по всему контуру l называется интеграл

. (6. 16)

Знак циркуляции, вычисленной по замкнутому контуру, зависит от направления его обхода. Положительным направлением обхода контура считают такое, когда ограниченная им область остается слева. Размерность циркуляции — м^г/сек..

Рис. 58

П онятие циркуляции в гидромеханике аналогично понятию работы в физике, только вместо вектора скорости в работу входит вектор силы. Действительно, работа силы f на элементарном пути dl равна произведению касательной составляющей силы на путь: f_ldl. Работа на неко­тором конечном пути получается интегрированием, как и для формулы (6. 16).

Циркуляция скорости по кон­туру непосредственно связана с интенсивностью вихревой труб­ки, натянутой на этот контур. Пусть, например, контур в плоском потоке представляет собой пря­моугольник с элементарными сторонами dx, dy площадью dF = dxdy (см. рис. 49). Значения составляющих скорости вдоль сторон прямо­угольника показаны на рисунке. Вычислим циркуляцию по этому элементарному контуру. Она складывается из четырех частей:

Таким образом, циркуляция оказалась равна интенсивности вихря для вихревой трубки, натянутой на элементарный контур. Для контура, охватывающего вихревую трубку конечного сечения, циркуляция скорости определится аналогично:

(6. 17)

Н ами получено доказательство теоремы Стокса: цир­куляция по произвольному контуру равна сумме интенсивностей вихревых трубок, пронизывающих поверхность F, натянутую на этот контур. Таким образом, в безвихревом (потенциальном) те­чении циркуляция скорости по любому контуру равна нулю. Только при появлении вращательного движения в жидкости цир­куляция становится отличной от нуля.

Теоремы о вихрях. Для вихревого движения идеальной жид­кости справедливы следующие теоремы.

Кинематическая теорема Гельмгольца: интенсивность вихря не меняется по длине вихревой трубки.

Рис. 59

Выберем на вихревой трубке конечных размеров произвольные сечения 1 и 2 (рис. 59). Проведем замкнутый контур ABCDEF по поверхности вихревой трубки. Очевидно, что циркуляция по этому контуру равна нулю, так как он вихревыми линиями не пронизы­вается:

.

Но

. (6. 18)

С ближая кривые AF и CD, полу­чим в пределе , так как направления обхода по этим линиям противоположны. Сле­довательно, из равенства (6.18): . Применяя теорему Стокса и приняв во внимание, что направления обхода кон­туров ABC и DEF противоположны, получаем:

Рис. 60

и . (6. 19)

Из этой теоремы следует, что вихревая трубка не может закончиться в жидкости. Действительно, если F → 0, то для выполнения условия необходимо, чтобы ω→∞; однако бесконечное увеличение угловой скорости вращения частиц невозможно вследствие действия вязкости. Поэтому вихревая трубка должна быть либо замкнута сама на себя, образуя вихревое кольцо (рис. 60, а), либо упираться концами в свободную поверхность жидкости или твердую стенку (рис. 60, б, в).

Приведем теперь без вывода основную теорему о вихрях в иде­альной жидкости.

Теорема Томсона: циркуляция по замкнутому жид­кому контуру в идеальной несжимаемой жидкости, находящейся в поле действия силы тяжести, не меняется со временем.

Из теоремы Томсона следует, что в идеальной жидкости вихри не могут возникать и не могут уничтожаться; если в некоторый на­чальный момент времени движение было безвихревым, то оно ос­танется безвихревым и в дальнейшем. В реальной жидкости вихри размываются с течением времени вследствие вязкости. Однако во многих практически важных случаях, например при определении подъемной силы крыла, влиянием вязкости можно пренебречь.

Поле скоростей, вызываемое вихревыми трубками. В ряде приме­нений гидромеханики приходится сталкиваться с задачей опреде­ления скоростей движения жидкости, вызванного заданной систе­мой вихрей. До сих пор мы решали обратную задачу: по известному полю скоростей находили вектор угловой скорости частиц потока [формулы (6.2) и (6.4)].

К аждый из элементарных вихрей, составляющих вихревую си­стему, создает около себя поле скоростей, распространяющееся на весь поток, в том числе и на другие элементарные вихри системы. Выясним, какую скорость вызывает в произвольной точке потока одиночная вихревая трубка.

Пусть dl — элемент вихревой трубки; Г циркуляция скорости по контуру, охватывающему эту трубку; α — угол между касатель­ной к элементу и радиусом-вектором r, проведенным в точку М, в которой определяется скорость (рис. 61). Скорость течения, вы­зываемая в этой точке элементом вихревой трубки, определяется формулой Био – Савара, которую мы приводим без вывода:

. (6.20)

В теоретической электротехнике закон Био—Савара определяет действие элемента проводника, по которому течет ток, на единичный магнитный полюс, помещенный в точку М. При этом сила тока в проводнике является аналогом циркуляции Г, а сила воздействия на магнитный полюс — аналогом индуцируемой скорости. Инду­цируемая скорость dw направлена перпендикулярно плоскости, содержащей отрезки dl и r, в сторону циркуляции.

Применим формулу Био – Савара для вычисления скорости, индуцируемой в некоторой точке М (рис. 62) бесконечной вихревой трубкой с прямолинейной осью, отстоящей от точки М на расстоя­ нии h. Очевидно, что . Выделим элементарный отрезок АВ длиной dl. Из треугольника ABC

.

Подставляя это значение dl в формулу (6.20), имеем

.

Скорость, вызываемая в точке М. всей вихревой трубкой, опреде­лится интегрированием полученного выражения в пределах от α = 0 до α = π:

. (6.21)

В § 18 было показано, что в двухмерном безвихревом циркуля­ционном течении распределение скоростей определяется формулой (6.4): . Сравнивая это выражение с равенством (6. 21), убеждаемся, что одиночная вихревая трубка порождает в окружаю­щей жидкости поле скоростей, характерное для безвихревого цир­куляционного течения. При этом константа в равенстве (6. 4) может быть представлена через циркуляцию: . Это обстоятельство позволяет определять величину циркуляции Г в плоском циркуляционном течении (или около одиночной вихревой трубки). Действительно, если задана скорость w_l на одной из концентриче­ских линий тока, расположенной на расстоянии r от оси вихревой трубки, то циркуляция