5.2. Косые скачки уплотнения

Возникновение косых скачков. Исследуем обтекание сверхзвуко­вым потоком (w₁ > a, m₁ > 1) острого клина. При малом растворе клина θ (рис. 40, а) возмущение уплотнения, вносимое клином в по­ток, также невелико. В этом случае линия возмущения АВ совпа­дает с характеристикой сверхзвукового потока, угол α может быть определен по формуле

.

При обтекании клина с конечной величиной угла раствора θ (рис. 40, б) возмущение сжатия, которое он вносит в поток, также имеет конечную величину. Волна уплотнения располагается по линии АВ и носит название косого скачка уплотне­ния.

При переходе через косой скачок возрастают давление, плот­ность и температура газа и уменьшается скорость течения (w₂<w₁).

Угол косого скачка β больше угла слабой волны возмущения, на­блюдаемой при той же величине числа Маха набегающего потока М₁. При возрастании скорости набегающего потока w₁ (или, что то же, числа М₁) угол β уменьшается, при увеличении угла пово­рота θ он, наоборот, растет.

Рис. 40

К роме случая обтекания клина, косой скачок уплотнения наблюдается также при обтекании внутреннего тупого угла (рис. 40, в), когда сверхзвуковой поток, текущий вдоль плоской стенки, поворачивает вместе с ней на угол θ. Наконец, косой скачок появляется при сверхзвуковом истечении газа в среду с более высоким давлением (рис. 40, г). В этом случае угол отклонения потока θ определяется отношением давлений .

Изменение параметров потока при переходе через косой скачок. Параметры газа на косом скачке, как и в случае прямого скачка уплотнения, меняются скачкообразно. Отличие от прямого скачка уплотнения состоит в том, что на косом скачке вектор скорости изменяется не только по величине, но и по направ­лению.

Обозначим нормальные к плоскости скачка составляющие скорости потока индексом n и касательные — индексом t (рис. 40). Запишем исходные уравнения для вывода зависимостей, связывающих параметры потока при переходе через прямой скачок:

1) уравнение неразрывности (2.6) в данном случае приводится к виду:

; (5.9)

2) уравнение изменения количества движения (2.22) в проекции на направление нормали

(5.10)

и в проекции на направление касательной

(5.10а)

3) уравнение энергии (4.8)имеет вид:

. (5.11)

Сопоставляя уравнения неразрывности и изменения количества движения, видим, что w_1t = w_2t, т. е. касательная составляющая скорости не претерпевает разрыва при переходе через косой ска­чок. Уравнение энергии принимает форму:

. (5.12)

Это обстоятельство приводит исходную систему уравнений (5.9) — (5.12) к такому же виду, как уравнения для прямого скачка (5.I) — (5.3). Разница состоит лишь в том, что вместо полной скорости в систему для косого скачка входит ее нормальная составляющая. Пользуясь решениями, выведенными для прямого скачка — формулы (5.4a) — (5.6), — получим изменение параметров потока на косом скачке:

,

,

(5.13)

,

где

,

Расчет параметров газа за косым скачком по формулам (5.13) оказывается трудоемким. Для его облегчения используются номо­граммы и таблицы косых скачков, приведенные, в частности, в [Л. 2].

Рис. 41

У дарная поляра. Отсоединенный скачок уплотнения. Анализ по­казывает, что годографом скорости при переходе через косой ска­чок (т. е. геометрическим местом точек — концов вектора скорости w₂) является петлеобразная кривая, изображенная на рис. 41 и называемая ударной полярой. Семейства ударных поляр для различных значений скорости сверхзвукового потока приво­дятся в пособиях по газовой динамике (см. список литературы).

Имея ударную поляру для заданной скорости w₁, легко опреде­лить графически величину вектора скорости за скачком w₂ и угол скачка β после поворота потока на заданный угол 9. Для этого от­кладывают угол θ от вектора w₁; величина w₂ равна (в масштабе) длине отрезка от точки А до пересечения с ударной полярой. Чтобы определить угол скачка, нужно провести прямую через концы век­торов w₁ и w₂ и опустить на нее перпендикуляр из точки А. Угол, образованный этим перпендикуляром с осью w_х и есть угол скач­ка β.

П ользуясь ударной полярой, можно определить также пре­дельный угол отклонения потока θ_пред, при кото­ром еще возможно существование косого скачка. Этот предельный угол получается, если провести из точки А касательную к ударной поляре (она показана в нижней части рис. 41). Если θ > θ_пред, то при данной скорости набегающего потока w₁ косой скачок не­возможен: возмущение сжатия оказывается слишком сильным. В этом случае перед клином появляется отсоединенный скачок уплотнения (рис. 42). В отсоединенном скачке, или головной ударной волне, центральная часть есть прямой ска­чок, при переходе через него те­чение становится дозвуковым, линии тока здесь криволинейны. С удалением от оси симметрии клина отсоединенный скачок приближается к косому, ско­рость за ним может быть сверх­звуковой. Каждому значению скорости w₁ соответствует своя опреде-

ленная величина предель­ного угла отклонения θ_пред, но даже для М₁ = ∞ она не превос­ходит 46°.

Рис. 42 Рис. 43

Возрастание энтропии и потеря давления в косом скачке. Как и в случае прямого скачка, в косом скачке происходит возрастание энтропии, механическая энергия претерпевает необратимые потери. При этом коэффициент восстановления давления, определяемый по уравнению (5.8), зависит только от параметра M₁sinβ, где β — угол скачка (см. рис. 40). С возрастанием M₁sinβ коэффициент σ убывает и соответственно возрастают потери механической энергии. Наи­большей величины они достигают при β = 90°, т. е. в прямом скачке. Поэтому для уменьшения потерь всегда стремятся заменить прямые скачки косыми. Например, крылья сверхзвуковых самолетов де­лают тонкими и заостренными спереди. Входные кромки турбинных лопаток, обтекаемых сверхзвуковым потоком, также заостряют. В этом случае прямые скачки заменяются косыми и потери энергии уменьшаются.

В случае слабого возмущения сжатия, когда коэффициент вос­становления давления приближается к единице (р₀₁ ≈ р₀₂), косой скачок уплотнения вырождается в слабую волну возмущения (ха­рактеристику).

Конический скачок. При продольном обтекании конуса сверх­звуковым потоком (рис. 43, а) у его вершины образуется кониче­ский скачок уплотнения, который оказывается более слабым, чем косой скачок на клине такого же раствора. В отличие от плоского косого скачка, за коническим скачком линии тока не прямолинейны: они искривлены и с удалением от вершины конуса приближаются к его поверхности. Как и в случае косого скачка, для каждого числа Маха M₁ существует свой предельный угол раствора; в случае боль­ших углов раствора конуса скачок становится отсоединенным. Пре­дельные углы конуса больше, чем предельные углы клина для тех же значений М₁. Потери энергии для конуса оказываются меньшими, чем для клина того же раствора (при одинаковой скорости сверх­звукового потока).

При сверхзвуковом обтекании осесимметричных тел с затуплен­ной носовой частью (таких, например, как трубка Пито — Прандтля, показанная на рис. 43, б) перед ними образуется скачок уплотне­ния криволинейной формы. В осевой части потока газовые струйки проходят через прямой скачок. Здесь наиболее велики потери меха­нической энергии, которые необходимо учитывать при измерении скорости потока по давлению торможения р₀₂. При удалении от оси скачок уплотнения приближается к коническому и вдали от обтекаемого тела вырождается в слабую волну возмущения.