- •Розділ 1. Основи кристалографії
- •1.1. Будова речовини
- •1.2. Трансляційна симетрія кристалів. Кристалічна ґратка
- •1.3. Класифікація кристалічних структур
- •1.4. Кристалографічні позначення
- •1.5. Обернена ґратка
- •1.6. Дифракція хвиль та частинок у кристалі
- •1.7. Класифікація кристалів за типами зв’язку
- •1.8. Некристалічні тверді тіла та рідкі кристали
- •1.9. Дефекти у кристалах
- •1.9.1. Точкові дефекти
- •1.9.2. Лінійні дефекти
- •1.9.3. Поверхневі та об’ємні дефекти
1.4. Кристалографічні позначення
Внаслідок кристалічної будови твердих тіл більшість з них анізотропні, тобто їх фізичні властивості залежать від напрямку їх спостереження у кристалі. З метою визначення положення точки, прямої або площини у кристалічній ґратці зручно вибрати систему координат, вісі якої паралельні векторам основних трансляцій. Положення довільного вузла у такій системі координат (відносно початку координат, суміщеного з положенням одного з вузлів) визначається впорядкованою трійкою чисел l, m та n – коефіцієнтів вектора (1.1) переміщення з початку координат до цього вузла. Такі трійки мають назву індексів вузлів і позначається символом [[lmn]]. У випадку складних ґраток числа l, m, n не обов’язково цілі.
|
Рис. 1.9. До пояснення змісту символів вузлів і напрямків УВАГА! Бажано би зменшити, але забезпечити виразність позначень векторів |
Орієнтація площин у кристалі також задається за допомогою індексів – впорядкованих трійок цілих чисел (lmn), що називаються індексами Міллера. Відомо, що рівняння площини, яка відтинає по осях координат відрізки довжиною p, q, r має вигляд:
(рівняння у відрізках). Приводячи ліву частину до спільного знаменника та позбавившись від нього, можемо записати його у вигляді загального рівняння площини
lx + my + nz = D, (1.4)
де D – найменше спільне кратне чисел p, q, r, а l, m та n – цілі числа. Наприклад, якщо площина відтинає на осях координат відрізки 4, 6 та 8 (довжин векторів , , ) , то її рівняння має вигляд
x/4+y/6+z/8=1
або
6x + 4y + 3z = 24,
звідки h = 6, k = 4, l = 3, а індекси Міллера цієї площини – (643).
1.5. Обернена ґратка
Рівняння (1.4) можна інтерпретувати двома способами залежно від того, який набір (x, y, z) чи (l, m, n) вважати змінними величинами. Зазвичай змінними величинами вважаються x, y і z – координати точок простору, положення яких визначається радіус-вектором (будемо називати його -простором). Тоді набір чисел (lmn) (індекси Міллера) – являє собою координати вектора, нормального до площини, яка проходить через точку (x, y, z). При фіксованих l, m і n рівняння (1.4) описує площину, отже (x, y, z) – координати множини точок, які лежать на цій площині.
З іншого боку у рівняння (1.4) набори чисел (x, y, z) та (l, m, n) входять симетрично, а тому перший набір можна вважати фіксованими коефіцієнтами. Тоді величини l, m і n будуть визначати координати (l, m, n) точок деякого іншого (не ) простору. Такий простір називається оберненим, або -простором. Тоді, аналогічно до того як точки (x = l, y = m, z = n) є вузлами [[lmn]] ґратки у -просторі, набір чисел (l, m, n) визначає вузли ґратки у оберненому просторі (оберненої ґратки) з індексами [[lmn]].
Обернена ґратка також володіє трансляційною симетрією, її вектор трансляції
,
де – основні вектори трансляції оберненої ґратки, а l, m і n – довільні цілі числа. Можна показати, що основні вектори трансляції прямої та оберненої ґраток пов’язані між собою співвідношеннями
, , , (1.5)
де – об’єм елементарної комірки прямої ґратки.
Величини x, y, z визначають у -просторі відстані, а тому вимірюються у одиницях довжини (м, см і т.д.). Тоді, як видно з (1.5), вектори -простору вимірюються у одиницях, обернених до одиниць довжини – м-1, см-1 і т.п. У таких одиницях вимірюється хвильовий вектор , модуль якого k = 2π/λ (λ – довжина хвилі). Це пояснює назви “обернений простір”, “ -простір”.
Поняття, що використовуються для опису кристалічних ґраток у -просторі – елементарна і примітивна комірка, трансляційна, точкова та просторова симетрії і т.п., – використовуються і для оберненої ґратки. Зокрема, правила побудови комірки Вігнера – Зейтца для оберненої ґратки є такими ж, як і для ґратки у -просторі. Внаслідок історичних причин комірка Вігнера – Зейтца оберненої ґратки називається першою зоною Бріллюена (у подальшому – зоною Бріллюена). Отже зона Бріллюена являє собою многогранник у -просторі, обмежений системою площин
, (1.6)
де – радіус-вектор точок, що лежать на площинах-межах зони Бріллюена, – вектор трансляції оберненої ґратки.