1.6. Дифракція хвиль та частинок у кристалі

Експериментальним підтвердженням наявності кристалічної ґратки у твердих тілах (впорядкованого розташування атомів) стало відкриття явища дифракції рентгенівських променів на кристалах. Відкриття стало наслідком спроби довести хвильову природу Х-променів (вперше отриманих і досліджених фізиком українського походження, професором Празького університету Іваном Пулюєм, описаних у науковій літературі і впроваджених до практичного застосування у медицині Рентґеном у 1895р.) шляхом визначення довжини їхньої хвилі. На той час існували оцінки можливої довжини хвилі рентгенівських променів (λ ~ 1 Å), що збігалося з оцінкою відстаней між атомами у кристалі. У 1912 р. Лауе запропонував експериментально перевірити гіпотезу: якщо атоми у кристалі розташовані впорядковано, а Х-промені – хвилі, то кристал може слугувати для них дифракційною решіткою (умовою спостереження дифракційної картини є співвимірність довжини хвилі і періоду решітки – λ ~ d). Дослід, поставлений асистентами Лауе, Фрідріхом і Кніппінгом, був успішним – фотографічна платівка, розміщена на шляху Х-променів, пропущених через кристал, була засвічена множиною закономірно розташованих точок – дифракційних максимумів. Тим самим одночасно було підтверджено дві гіпотези: про хвильову природу Х-променів та про впорядкованість розташування атомів у кристалі.

Найпростіше пояснення спостережуваної дифракційної картини при проходженні Х-променів через кристал було вперше дано Вульфом і братами-дослідниками на прізвище Бреґґ у 1913 р., яке полягало в наступному: падаюча хвиля (Х-промені) довжиною λ розсіюється на системі паралельних атомних площин у кристалі (hkl) як на дифракційній решітці. Хвилі, розсіяні на атомних площинах, можуть накладатися і, за певних умов, інтерферувати. Умовою спостереження дифракційного максимуму у напрямку променів, що поширюються під кутом θ до площини розсіювання, є виконання рівності

, (1.7)

де n = 1, 2, … – порядок дифракційного максимуму (закон Вульфа – Бреґґа). З (1.7) видно, що дифракція у кристалі можлива тільки для таких хвиль довжина яких λ ≤ 2dsinθ.

Користуючись уявленням про обернену кристалічну ґратку, Евальд дав корисну геометричну інтерпретацію явища дифракції Х-променів у кристалах. Нехай – хвильовий вектор променя, падаючого на площину (hkl). За умови пружного розсіювання на цій площині, модулі хвильового вектора падаючого і відбитого ( ) променів однакові: k´ = k = 2π/λ. Виберемо один з вузлів оберненої ґратки (вузол А на рис. 1.10), спрямуємо на нього вектор і опишемо сферу радіусом k = 2π/λ з центром у точці О – початку цього вектора. Можливі напрямки дифракції відповідають точкам перетину побудованої сфери з вузлами оберненої ґратки. Зокрема дифракційний максимум для променя спостерігається під кутом 2θ до нього у напрямку OВ. Дійсно після відбивання від площини (hkl) розсіяний промінь пройде під кутом θ до площини (hkl) у напрямку . Як видно з рис. 1.10, модуль вектора , що характеризує розсіювання променя при відбиванні, дорівнює відстані між вузлами вектора оберненої ґратки (довжині вектора трансляції ): Δk = 2π/d, де d – відстань між площинами прямої ґратки. З побудови також видно, що Δk = 2k∙sinθ = 4π∙sinθ/λ = 2π/d, звідки 2d∙sinθ = λ. Якщо числа h, k і l містять спільний множник n, то відстань між площинами (nh nk nl) у n раз менша відстані між площинами (hkl), тоді Δk = 2πn/d, а отже отримується закон Вульфа – Бреґґа: 2d∙sinθ = nλ.

Рис. 1.10. Побудова Евальда УВАГА! Бажано би зменшити, але забезпечити виразність позначень векторів

Оскільки або то, враховуючи рівність модулів хвильових векторів падаючої та відбитої хвиль, одержимо (1.6) або

. (1.8)

Очевидно, що співвідношення (1.8), яке називається формулою Лауе, закон Вульфа – Бреґґа (1.7) і рівняння поверхні зони Бріллюена (1.6) еквівалентні. Це дає підставу стверджувати, що дифракція Х-променів є результатом пружного розсіювання хвиль на поверхні зони Бріллюена.

Оскільки хвильовий вектор визначає імпульс фотона , то обернений простір називають ще простором імпульсів. Закон зміни імпульсу фотона при пружному розсіянні на атомних площинах має вигляд

. (1.9)

До формули Лауе і закону Вульфа – Бреґґа входять характеристики кристалічної ґратки ( , d). Це означає, що вигляд дифракційної картини, яка виникає при проходженні рентгенівських променів через кристал визначається структурою. На цьому ґрунтується метод Лауе –метод вивчення структури кристалів на основі аналізу дифракційної картини, одержаної при їх опромінюванні пучками Х-променів або частинок високих енергій (електронів, нейтронів і т.п.).

Пучок Х-променів, що містять хвилі з довжинами з досить широкого інтервалу Δλ направляють на кристал. З цього пучка дифракції зазнають тільки промені з тими довжинами хвиль λ, які падають на атомні площини (hkl) під кутом θ, що забезпечує виконання закону Вульфа – Бреґґа. На фотографічній платівці, розміщеній поза кристалом (пряма зйомка) або перед ним (зворотна зйомка), реєструють дифракційну картину від променів, що пройшли через кристал або тих, що відбилися від атомних площин. Вона має вигляд складної, проте симетричної картини дифракційних максимумів, положення яких визначається симетрією кристалічної ґратки. Фотографічне зображення дифракційної картини – результату розсіювання Х-променів на кристалі називається лауеграмою.

Метод Лауе широко використовується для визначення орієнтації кристалів (визначення напрямків осей симетрії). Подібні методи з використанням монохроматичних променів дозволяють визначати також і параметри ґратки.