1.3. Класифікація кристалічних структур
Відмінність між різними типами кристалів полягає не тільки у відмінностях трансляційної симетрії (довжинах основних векторів трансляції та кутах між ними) але й у особливостях їх точкової симетрії – властивості кристалічної ґратки зберігати своє положення у просторі при виконанні операцій точкової симетрії. До них відносяться такі, виконання яких приводить до переміщення усіх точок ґратки, за винятком однієї (вона називається центром симетрії), розміщених на одній прямій (її називають віссю симетрії) або площині (площина симетрії). До таких операції відносяться, відповідно: інверсія, обертання на певні кути навколо певних осей, відбиванні у певних площинах. Залежно від набору операцій точкової симетрії, властивих даній ґратці, та результату їх послідовного виконання, її відносять до однієї з так званих груп точкової симетрії. Кожна з груп характеризує певні властивості точкової симетрії і має відповідну назву та позначення. Наприклад, існують групи точкової симетрії тетраедра (позначається символом Td), октаедра (О), куба (Oh) і т.п. Зокрема, кристалічні структури алмазу, германію, кремнію і багатьох бінарних напівпровідникових сполук (ZnS, ZnSe, CdS, CdTe, GaAs) відносяться до групи Td, більшість металів – до групи Oh.
Трансляційна симетрія накладає обмеження на точкові групи симетрії, якими можуть володіти прості ґратки – для них існує тільки 7 точкових груп, сумісних з трансляційною симетрією, а саме: S2, C2h, D2h, D3d, D4h, D6h і Oh. Указані точкові групи утворюють сім кристалічних систем (сингоній), які мають наступні назви та позначення:
1) триклінна (1) tr;
2) моноклінна (2) m;
3) ортогональна, або ромбічна (4) o;
4) тетрагональна, або квадратна (2) t;
5) тригональна, або ромбоедрична (1) rh;
6) гексагональна (1) h;
7) кубічна (3) c.
Число
у дужках показує кількість граток Браве,
які належать до кожної з сингоній.
Зокрема кубічній сингонії з симетрією
Oh
відповідають три типи
ґраток: проста кубічна (позначається
),
ОЦК (
)
та ГЦК (
).
Вказаним семи сингоніям відповідає
всього 14 типів ґраток Браве. Їх їх
характеристики і символічні позначення
наведені у табл. 1.1.
Табл. 1.1. Позначення і характеристики кристалічних систем (сингоній)
Сингонія |
Параметри ґратки |
Символ групи точкової симетрії |
Символ типу ґратки Браве |
Приклади |
Триклінна (tr) |
a1 ≠ a2 ≠ a3 α ≠ β ≠ γ |
S2 |
|
FeSO4∙5H2O, CaS2O4∙6H2O |
Моноклінна (m) |
a1 ≠ a2 ≠ a3 α = β = 90° , γ ≠ 90°, |
C2h |
|
Na2B4O7∙10H2O (бура), Li2SO4∙H2O |
Орторомбічна (o) |
a1 ≠ a2 ≠ a3 α = β = γ = 90° |
D2h |
|
PbSO4, C6H2(NO2)3OH |
Тетрагональна (t) |
a1 = a2 ≠ a3 α = β = γ = 90° |
D4h |
|
In, Sn, HgCl |
Кубічна (c) |
a1 = a2 = a3 α = β = γ = 90° |
Oh |
,
|
Більшість металів та їх сплавів, NaCl, Ge, Si, ZnS, GaAs, CdS, CdTe |
Тригональна (rh) |
a1 = a2 = a3 α = β = γ < 120°, ≠ 90° |
D3d |
|
CaCO3, MgSO4∙6H2O |
Гексагональна (h) |
a1 = a2 ≠ a3 α = β = 90°, γ = 120° |
D6h |
|
Be, Mg, Zn, Cd, MoS2, CdI2, PbI2 |
,
,
,
,
,
,
У випадку складних граток (граток з базисом) точкова група симетрії може бути тільки підгрупою сингонії ґратки Браве (наприклад ґратка алмазу характеризується групою симетрії Td, що є підгрупою Oh). Такі підгрупи називаються кристалічними класами.
Отже довільний кристал (кристалічна структура) може бути віднесений до однієї з семи сингоній, одного з тридцяти двох кристалічних класів.
Поряд з перетвореннями трансляційної та точкової симетрії, кристал може володіти також наступними елементами просторової симетрії: гвинтова вісь та площина ковзання.
Гвинтова вісь являє собою перетворення симетрії кристалу, що полягає у послідовному виконанні пари операцій: обертання на кут 2π/n навколо вісі симетрії і наступне зміщення вздовж цієї осі на деяку цілочисельну (1/2, 1/3 і т.п.) частину вектора ґратки (таке зміщення усіх точок кристалу називається невластивою трансляцією). Якщо виконання цієї пари операцій не змінює положення ґратки у просторі, то кажуть, що кристал володіє симетрією гвинтової осі.
Зміст перетворення симетрії кристалу, яке зветься площиною ковзання, полягає у можливості побудови у кристалі площини PP/, дзеркальне відображення у якій його частин, розмежованих цією площиною, не призводить до їх суміщення. Для цього після відображення у PP/ потрібно виконати в операцію невластивої трансляції однієї з частин кристалу паралельно площині PP/.
Залежно від наявності у кристалі з певним типом ґратки Браве елементів точкової симетрії, гвинтової осі і площини ковзання дозволяє віднести його до однієї з 230 існуючих груп просторової симетрії. Класифікація кристалічних структур здійснюється за особливостями їх трансляційної, точкової та просторової симетрії.