4.2 Методичні рекомендації для розв’язування задач (на прикладах)

Задача 4.1 Знайти спектральну функцію прямокутного імпульсу (рис.4.3), для якого

;

Розв’язування:

З останнього виразу маємо

; .

Модуль спектральної характеристики аперіодичної функції f(t) матиме вигляд:

.

Фаза спектральної характеристики обчислюється за формулою

.

Остаточно можна записати

.

Задача 4.2 Знайти модуль спектральної щільності імпульсу, кореляційна функція якого зображена на рис.4.4. Розв’язування:

Кореляційна функція записується виразом:

Квадрат модуля спектральної щільності визначається за формулою

Рисунок 4.4 – Графічне зображення кореляційної функції (до задачі 4.2)

Обчисливши інтеграли, отримаємо

Задача 4.3 Коваріаційна функція випадкового струму і(t), яка зображена на рис.4.5, описується виразом:

Визначити і зобразити на графіку спектральну щільність потужності процесу і(t). Враховуючи закон розподілу нормальним, зобразити графічно реалізацію випадкового струму і(t).

Розв`язування:

Для випадкового процесу з ненульовим середнім значенням спектральна щільність потужності дорівнює

,

де -суцільна частина спектра, яка відповідає флуктуаційній складовій струму і.

Рисунок 4.5— Графік коваріаційної функції (до задачі 4.3)

При заданій кореляційній функції отримаємо:

Графік Wi(2f) зображений на рис.4.6а. Повна потужність (середня) процесу і(t), що виділяється на опорі 1 Ом, Рі=Ri(0)+m2i=1.7A2Ом. Приблизний вигляд однієї із реалізацій і(t) показаний на рис.4.6 б.

а ) б)

Рисунок 4.6— Графіки спектральної щільності (а) і реалізації випадкового процесу (б) (до задачі 4.3.)

Задача 4.4 Визначити взаємні спектральні щільності процесів за умови, коли кореляційна функція процесу задана виразом: .

Розв`язування:

Спочатку визначимо спектральну щільність потужності процесу :

Взаємна кореляційна функція стаціонарного процесу і його похідної визначається виразом:

З цього виразу випливає, що взаємній кореляційній функції відповідає взаємна спектральна щільність:

,

тобто взаємні спектральні щільності і — чисто уявні функції. З цього випливає :

тобто взаємна кореляційна функція стаціонарного випадкового процесу і його похідна в співпадаючі моменти часу рівні нулю.

Задача 4.5 Відома кореляційна функція ,

де μ — параметр затухання μ=2; D — дисперсія D=5.

Знайти:

1. зображення графіка кореляційної функції;

2. за допомогою перетворення Фур'є знайти автоспектральну щільність Sxx(τ).

Розв'язування.

1) Графік кореляційної функції має вигляд (рис. 4.7):

Рисунок 4.7 – Графік кореляційної функції (до задачі 4.5)

2) Автоспектральна щільність обчислюється за формулою (4.17). Тому отримуємо:

Графік отриманої автоспектральної функції зображений на рис. 4.8.

Рисунок 4.8— Графік спектральної функції (до задачі 4.5)

4.3 Завдання для самостійної роботи

Задача 4.6 Визначити спектральні щільності середньої потужності стаціонарних випадкових коливань по відомим кореляційним функціям:

а)

б)

Побудувати графіки отриманих .

Задача 4.7 Визначити спектральні характеристики для сигналів (1)÷(9), які наведені в додатку А. (вид сигналу конкретизується викладачем)