8.2 Методичні рекомендації для розв’язування задач (на прикладах)

Задача 8.1 Побудувати і дослідити при різних значеннях періоду дискретизації, частоти дискретизації і кількості вибірок спектральні функції і амплітудний спектр сигналу, поданого на рис. 8.1, який зображає залежність f(t) для струму в резонансному контурі від стадії збудження до згасаючого коливання:

. (8.11)

Н а рис. 8.2 показана дискретизована функція (8.11), яка відповідає вибіркам її значень через проміжок часу в 0,2 с протягом 10 с. Таким чином, дискретизовану функцію характеризують:

- період дискретизації T_a=0,2с;

- частота дискретизації f_a=5 Гц; (8.12)

- сумарний час спостереження NT_a=10c;

- кількість виборок N=50.

Амплітудний спектр |F(jω)|, обчислений згідно алгоритму (8.1)–(8.2), для неперервного в часі сигналу з постійною затухання T=2с та частотою f=1/π c^-1 записується виразом

, (8.13)

і характеризується максимумом при ω≈2с^-1.

Графічне зображення спектру (8.13) подається на рис. 8.3а.

Рисунок 8.1 - Досліджувана функція

Рисунок 8.2 - Дискретизована функція

Для знаходження спектральної функції дискретизованої функції F_n(jω), спочатку визначаємо її періодичність, яка характеризується круговою частотою, обчисленою за формулою

(8.14)

Згідно з умови дискретизації (8.12) =0,2с, що відповідає частоті дискретизації 5 Гц.

, с^–1 (8.15)

а)

а — спектр, обчислений за формулою (8.13);

б — спектр, обчислений за формулою (8.17) при T_a=0,2с;

в — спектр, обчислений за формулою (8.17) при T_a=0,1с.

Рисунок 8.3— Амплітудний спектр функції, зображеної на рис 8.1

Продовження рисунку 8.3

б)

в)

Амплітуди частотного спектра ДТФ можна обчислити для всіх N=50 дискретних частот ω_k, які згідно з (8.8) знаходяться одна від одної на відстані 2π/NT_a=0,2c^–1. Отримана по­слідовність виборок при дискретизації функції (8.11) згідно з (8.12) подана в табл. 8.1.

Таблиця 8.1 – Значення виборок функції

Номер витягу	Момент часу витягу	Значення дискретизованої функції
0 1 2 3 … 47 48 49	0 0,2 0,4 0,6 … 9,4 9,6 9,8	0 1,0571 1,7620 2,0714 … -0,0014 0,0085 0,0152

Враховуючи, що для знаходження спектральної функції дискретизованої функції F_n(jω) необхідно перемножувати ДТФ із значенням T_a, то використовуючи (8.6) отримуємо

. (8.16)

Для модуля спектральної функції за допомогою (8.16) і (8.4) отримуємо кінцевий вираз:

(8.17)

При ω_k= π c^–1 останнє рівняння має такі числові значення

Аналогічно визначаються амплітуди і для всіх інших значень частоти.

Амплітудний спектр |F_n(jω)| дискретизованої функції, обчислений згідно з (8.17), зображений на рис. 8.3б. 3 його виду слідує, що спектри, які повторюються з частотою ω=10π перекриваються. в діапазоні близькому до (12...20) с^–1, що не дає можливості оцінити амплітуду спектру на цих частотах і свідчить про занадто низьку частоту виборок.

З метою збільшення кругової частоти періодичності спек­тральної функції F_n(jω) згідно з (8.14) необхідно зменшити період дискретизації T_a. Тому збільшимо частоту дискрети­зації в два рази, що буде відповідати таким характеристикам дискретизованої функції:

• період дискретизації T_a=0,1с;

• частота дискретизації f_a=10 Гц; (8.19)

• сумарний час спостереження NT_a=10c;

• кількість виборок N= 100.

Спектральна функція F_n(jω) має кругову частоту, яка обчис­лена згідно з (8.14) і становить ω=2π/0,1, с^–1

Всього можна обчислити амплітуди для 100 дискретизованих час­тот ω_к, які згідно з (8.8) знаходяться на відстані 2π/NT_a=0,6 с^–1 одна від одної. Амплітудний спектр, який при цьому отримаємо, зображено на рис. 8.3в. З його виду очевид­но, що перекриття зникли внаслідок достатньо високої частоти дискретизації і отриманий графік дає можливість в повній мірі зробити висновки про вид і форму амплітудного спектру досліджуваного сигналу.