1.2 Методичні рекомендації для розв’язування задач (на прикладах)

Задача 1.1 Задано коливання (t)=x(t)(t), де x(t)-випадковий стаціонарний процес; (t)-невипадкова функція часу. Визначити, чи є задане коливання стаціонарним процесом.

Розв`язування:

Для перевірки стаціонарності коливання (t) визначимо його математичне сподівання і дисперсію:

M[(t)]=M[x(t)(t)]=M[x(t)](t),

D_[(t)]=D[x(t)(t)]=D[x(t)]²(t).

Оскільки статистичні характеристики функції (t) залежать від часу, процес (t) є нестаціонарним.

Задача 1.2 Випадкове коливання (t) в будь-якому січенні являє собою неперервну випадкову величину з одновимірною щільністю випадковості р(х,t). Визначити в загальному виді вираз для математичного сподівання т_(t) і дисперсії D_(t) коливання (t). Зобразити приблизно вид реалізації випадкових процесів:

а) нестаціонарних по математичному сподіванню;

б) нестаціонарних по дисперсії;

в) нестаціонарних по математичному сподіванню і дисперсії одночасно;

Розв`язування:

Математичне сподівання і дисперсія випадкового коливання (t) можуть бути записані у вигляді:

Реалізації процесів, в яких від часу залежить тільки т_(t), тільки D_(t) або т_(t) і D_(t) показані відповідно на рис.1.3 а,б,в.

а – при змінному математичному сподіванню;

б – при змінній дисперсії;

в – при змінних математичному сподіванні і дисперсії.

Рисунок 1.3— Графік зображення випадкових процесів (до задачі 1.2)

Задача 1.3 По заданій щільності імовірності стаціонарного випадкового процесу (електричного струму) р(і)=і² ехр(-ki), k>0, 0 і< , визначити коефіцієнт , функцію розподілу р(і) і ймовірність перебування значення і в інтервалі (0,1/k). Побудувати графіки функцій р(і) і Р(і) для випадку коли k=3 А^-1.

Розв`язування:

З умови випливає:

Функція розподілу

Ймовірність попадання значення і(t) в інтервал (0,1/k):

Графіки функцій

показані на рис.1.4 а,б.

а – щільність ймовірності;

б – функція розподілу.

Рисунок 1.4— Графік ймовірнісних характеристик (до задачі 1.3)

Задача 1.4 Щільність ймовірності кривої, яка огинає вузькосмуговий процес Гауса, описується таким виразом:

Визначити математичне сподівання цього коливання.

Розв`язування:

Математичне сподівання кривої, яка огинає вузькосмуговий процес Гауса, визначимо із виразу:

Провівши заміну змінної знайдемо

Іінтегруючи по частинам отримаємо

Задача 1.5 Напруга на виході вимірювального підсилювача представляє собою нормальний стаціонарний випадковий процес з математичним сподіванням т_и=-50мВ і дисперсією D_u=0.01 B². Визначити імовірність того, що миттєве значення напруги по абсолютній величині не буде більшим 150 мВ.

Розв`язування:

Задача зводиться до визначення імовірності того, що додатне відхилення випадкової величини U від середнього значення т_и=-50мВ залишиться в межах 0...200 мВ, а відємне відхилення-в межах 0...-100 мВ.

Імовірності цих двох подій рівні відповідно:

де — функція Лапласа.

Сумісна імовірність двох вказаних подій буде:

тобто, імовірність того, щонапруга на виході підсилювача не виходить за межі –100...+200 мВ, складає 0,8185.

Задача 1.6 Проекція X радіус-вектора випадкової точки кола радіуса a на діаметр має функцію розподілу:

Визначити:

а) ймовірність того, що X буде належати ;

б) квантиль x_0,75 (таке x, коли F(x)=0,75);

в) щільність ймовірності f(x) випадкової величини X;

г) моду і медіану розподілу.

Розв'язування:

а) ймовірність того, що X виявиться в межах дорівнює:

;

б) за умовою p=0,75, тому розв'язуючи рівняння

,

знаходимо ;

в) щільність ймовірності f(x) випадкової величини X дорівнює:

• для всіх х в інтервалі (-а, а)

.

• нулю для всіх інших значень х;

г) закон арксинуса моди не має, так як функція не має максимуму.

Розв'язуючи рівняння , знаходимо медіану х_0,5=0.

Задача 1.7 Нехай задана щільність ймовірності випадкової величини f(x). Знайти математичне очікування M[X], дисперсію D[X], середнє квадратичне відхилення σ_х та центральні моменти третього і четвертого порядків.

Розв'язування:

Початковий момент k-го порядку:

.

Початковий момент першого порядку (математичне очікування M[X]):

.

Центральний момент другого порядку (дисперсія D[X], або квадрат середнього квадратичного відхилення σ_х), який характеризує розсіювання випадкової величини:

.

Центральний момент третього порядку, який характеризує відхилення кривої функції щільності ймовірності від симетричної форми:

.

Прикладом симетричної кривої є форма функції щільності ймовірності для закону нормального розподілу випадкової величини.

Центральний момент четвертого порядку, який характеризує гостровершинність кривої функції щільності ймовірності :

.