5.4 Запитання для самоконтролю

1. Охарактеризуйте алгоритм визначення спектральних характеристик і форми сигналу на виході лінійної ланки.

2. Що спільного і відмінного є у алгоритмі визначення спектральних характеристик і форми сигналу на виході лінійної ланки при обробці нею детермінованих і випадкових сигналів?

3. Яка фізична суть і призначення рівності Парсеваля?

4. Який зв’язок між сигналом і його спектральною щільністю?

5. Який зв’язок між автокореляційною функцією сигналу і його спектральною щільністю?

6. Виконайте порівняльний аналіз ідеальної і реальної інтегральної ланки.

7. Виконайте порівняльний аналіз ідеальної і реальної диференційної ланки.

8. Виконайте порівняльний аналіз інтегральної ланки і фільтра низької частоти.

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №6

ОБЧИСЛЕННЯ СПЕКТРАЛЬНОЇ ЩІЛЬНОСТІ І

ДИСКРЕТНОЇ ТРАНСФОРМАЦІЇ ФУР’Є

ДИСКРЕТИЗОВАНИХ СИГНАЛІВ

Мета і завдання заняття: Засвоїти суть, означення і алгоритми обчислення спектральної щільності і дискретної трансформації Фур’є дискретизованих інформаційних сигналів. Набути практичних навиків розрахунку аналітичними методами дискретної трансформації Фур’є дискретизованих періодичних сигналів.

Тривалість заняття— 2 год.

6.1 Основні теоретичні відомості

Припустимо, що процес х(t) заданий на інтервалі [0, T] своїми значеннями в точках t₀=0, t₁=∆t,…,t_N=N∆t, ∆t =T/N.

Переведення аналогового процесу в дискретну форму для чи­сельного аналізу звичайно здійснюється через однакові проміжки часу ∆t. Задача полягає в тому, щоб правильно вибрати величину інтервалу дискретизації ∆t (рис. 6.1).

Рисунок 6.1— Реалізація процесу

Припустимо, що процес x(t) неперервно повторюється з періо­дом Т. Позначимо основний приріст частоти, який називається також коінтервалом Найквіста, через ∆f=1/Т. Розкладемо х(t) у ряд Фур'є для k-го значення частоти f_k = k∆f. Для довільного ча­су t дістанемо

, (6.1)

де

. (6.2)

Фінітне перетворення Фур'є процесу x(t) для k-го значення частоти має вигляд:

. (6.3)

Порівнюючи (6.2) та (6.3), приходимо до висновку, що фінітне перетворення Фур'є для k-го значення частоти становить

. (6.4)

Припустимо тепер, що перетворення Фур'є X(f) процесу х(t) задано в інтервалі частот від - F до + F. Тоді обернене перетворення Фур'є має вигляд:

. (6.5)

Інтервал фізично здійснених частот становить [0, F]. Тому, змі­нюючи у виразі (6.5) границі інтегрування на 0 та F, сам вираз помножимо на 2. Щоб дістати періодичну функцію з періодом ∆t=1/2F, припустимо, що функція X(f) неперервно повто­рюється. Основний приріст часу, який називається також інтерва­лом Найквіста, становить ∆t=1/2F. Тепер розкладемо X(f) у ряд Фур'є для n-го значення моменту часу. Для довільної частоти f, з одного боку, маємо

, (6.6)

де

. (6.7)

З іншого боку, згідно з формулами (6.5) та (6.7) для n-го моменту часу t_n = n∆t = n/2F значення процесу x(t) має вигляд:

. (6.8)

Аналізуючи формулу (6.8), бачимо, що якщо знімати дискретні значення х(t_n) у точках, які розділені на шкалі часу (в проміжку від 0 до T) інтервалом Найквіста ∆t = 1/2F, то знайдемо кількість дискретних значень, потрібних для опису процесу х (t):

. (6.9)

Такий самий результат дістанемо, якщо зніматимемо дискретні зна­чення X(f_k) функції X(f) у точках, які розділені на шкалі частот (у проміжку від - F до + F) коінтервалом Найквіста ∆f = 1/T . Дійсно, аналізуючи формулу (6.4) та враховуючи сказане, можна знайти, що для опису функції x(t) потрібна кількість дискретних значень X(f_k) визначається за формулою

. (6.10)

Отже, має бути однакова кількість дискретних значень процесу при вибиранні їх через інтервал Найквіста за шкалою часу та через коінтервал Найквіста за шкалою частот. Згідно з (6.9) і (6.10) мінімальна кількість відліків, яка потрібна для опису реалізації процесу х(t) довжиною Т при ширині спектра F, визначатиметься виразом N=2FT. Тому при сталій відстані в часі максимальний інтервал дискретизації такий: ∆t = 1/2F. Щоб дискретна реалізація містила ті самі частоти, що й початковий неперервний процес, потрібно, щоб на кожний цикл відповідного коливання припадало щонайменше два відліки. Тому максимальна частота, яка може бути виділена при дискретизації зі швидкістю 1/∆t відліків за секунду, дорівнює 1/2∆t. Гранична частота

(6.11)

називається частотою Найквіста або частотою згортання.

Наведемо також формули для обчислення дискретних значень X(f_k) і x(t_n) процесу х(t). Для цього розглянемо фінітне перетво­рення Фур'є його на інтервалі [0, Т]:

. (6.12)

Як і раніше, вважатимемо, що x(t) задається на інтервалі [0,Т] своїми значеннями у точках t₀=0, t₁=∆t,…,t_N=N∆t, ∆t =T/N.

Позначимо t_n = n∆t, x (t_n) = х[п]. Тоді, застосовуючи для наближено­го обчислення X(ω) формулу прямокутників, дістаємо

. (6.13)

Позначимо також ω = k∆ω = k 2π∆f, ∆f/= 1/ Т. Тоді

(6.14)

Виконавши заміну W_N = ехр (-j 2∆t/N), знайдемо

. (6.15)

Надалі множник ∆t для спрощення обчислень опускатимемо. Співвідношення (6.15) визначає дискретне перетворення Фур'є (ДПФ) функції x(t); X[k], називаються коефіцієнтами ДПФ. Формулу (6.15) можна записати в матричному вигляді:

(6.16)

або в згорнутому вигляді

, (6.17)

де W_N—матриця перетворення.

Обернене дискретне перетворення Фур'є (ОДПФ) має вигляд

(6.18)