3.2 Методичні рекомендації для розв’язування задач (на прикладах)

Задача 3.1 Розрахувати значення коефіцієнтів ряду Фур’є для періодичного сигналу у вигляді прямокутних імпульсів довжиною T/n (рис.3.3), де Т – період сигналу, n— коефіцієнт шпаруватості сигналу (n>1), h— амплітуда імпульсів.

Рисунок 3.3— Графік періодичного сигналу (до задачі 3.1)

Розв’язування:

Запишемо аналітично заданий сигнал у вигляді:

де l = 0,1,2,…; l— номер імпульсу, m— номер гармоніки.

Обчислюємо коефіцієнти ряду Фур’є за формулами (3.6)–(3.8):

Значення амплітуд та фаз окремих гармонічних складових ряду Фур’є для прямокутного імпульсу розраховуємо за формулами (3.11) і (3.12):

Із (3.33) отримуємо:

Тому для заданої періодичної функції ряд Фур′є (3.9) набуває вигляду:

Числові значення коефіцієнтів ряду Фур’є вигляду (3.5) для заданого періодичного сигналу визначаються із формул (3.29) – (3.31). Тому для першої гармоніки (m=1) отримуємо:

; .

Відповідно значення амплітуд для другої (m=2) і третьої (m=3) гармонік будуть рівними:

; ;

; .

В залежності від конкретних числових значень параметрів h (амплітуда імпульсів) і n (коефіцієнт шпаруватості сигналу) за формулами (3.36) – (3.38) стає можливим обчислення коефіцієнтів ряду Фур’є і запис апроксимаційного рівняння заданої періодичної функції (3.28) у відповідності до виду, поданого в (3.5). Наприклад, рівняння апроксимаційної функції гармоніками першого порядку ряду Фур’є згідно (3.29) і (3.36) запишеться у вигляді:

3.3 Завдання для самостійної роботи

Задача 3.2 Розрахувати коефіцієнти ряду Фур’є для апроксимації сигналів (1)÷(9), які наведені в додатку А і побудувати графіки апроксимованих сигналів при виборі (1)÷(15) гармонік (вид сигналу і кількість гармонік конкретизується викладачем).

3.4 Запитання для самоконтролю

1. Охарактеризуйте суть і види періодичних сигналів. Наведіть приклади із попередньо вивчених в університеті дисциплін.

2. Здійсніть порівняльний аналіз гармонічних і періодичних сигналів. Наведіть приклади.

3. Що таке ряд Фур’є і яке його призначення?

4. Які бувають форми запису ряду Фур’є і яка область їх застосування?

5. Який процес називають полігармонічним і в чому суть отримання і зображення його спектральної характеристики?

6. Охарактеризуйте термін „пара перетворень Фур’є” і його практичне застосування.

7. Що таке „фундаментальна частота”, як вона обчислюється і яке її значення при апроксимації сигналів?

8. Що таке „комплексна амплітуда” гармоніки сигналу, як вона обчислюється і яке її значення при апроксимації сигналів?

Практичне заняття №4 розрахунок спектральних характеристик аналогових інформаційних сигналів

Мета і завдання заняття: Засвоїти суть, означення, види і алгоритми обчислення спектральних характеристик ін­формаційних сигналів. Набути практичних навиків розраху­нку аналітичними методами спектральних характеристик не­періодичних і випадкових процесів.

Тривалість заняття – 2 год.