6.2 Методичні рекомендації для розв’язуванню задач (на прикладах).

Задача 6.1 Прямокутний імпульс s(t) піддали дискретизації з кроком Т (рис 6.2). Знайти спектральну щільність S_T (ω) дискретизованого сигналу

Рисунок 6.2— Прямокутний імпульс (до задачі 6.1)

Розв’язування:

Застосовуючи перетворення Фур`є до заданого дискретизованого сигналу і враховуючи, що спектральна щільність функції δ(t-kT) рівна e^-jωkT, знаходимо

Графіки S_T (ω) при N=2M+1=9 і S(ω) при T_c=NT представлені відповідно на рис. 6.3. Вид отриманої S_T (ω) пояснюється тим, що спектр дискретизованого сигналу рівний сумі (з коефіцієнтом 1/Т) зміщених спектрів S_T (ω-n2π/T) початкового сигналу s(t).

а – для дискретизованого імпульсу;

б – для недискретизованого імпульсу

Рисунок 6.3— Графік спектральної щільності прямокутного імпульсу (до задачі 6.1)

Задача 6.2 Експоненційний імпульс s(t)=e^-αt, t≥0, α=2∙10⁴ 1/с, підданий дискретизації з кроком Т=10 мкс. Знайти спектральну щільність дискретизованого сигналу.

Розв'язування:

Спектральна щільність заданого дискретизованого сигналу визначається виразом

і в даній задачі ( з врахуванням формули геометричної прогресії) отримуємо

, де b=e^-αT= e^-0.2.

Модуль цього виразу і модуль спектральної щільності початкового сигналу експоненційного імпульсу зображені на рис. 6.4.

Задача 6.3 Дискретизований сигнал (рис.6.2) обмежений тривалістю Т_с=NT записується виразом:

1/с,

Т=10мкс Т_с =80 мкс.

а – для дискретизованого імпульсу;

б – для недискретизованого імпульсу

Рисунок 6.4— Графіки спектральної щільності експоненційного імпульсу (до задачі 6.2)

Знайти спектральну щільність S_T (ω) дискретизованого сигналу s_T (t) і дискретне перетворення Фур`є (ДПФ) S(n) послідовності відліків . Отримані результати порівняти. Як змінюється S(n) при зменшенні вдвоє кроку дискретизації Т початкового сигналу?

Розв'язування:

ДПФ заданого сигналу визначається за виразом (6.14)

.

і в даній задачі з врахуванням формули геометричної прогресії отримуємо:

.

Співставимо S(n) з суцільним спектром S_T(ω), який обчислюється за формулою

.

Як видно на частотах ω_n=n 2π/T_c значення спектра S_T(ω_n) тотожно співпадають з відповідними значеннями S(n).

Зменшення кроку дискретизації Т при Т_с=const приводить до збільшення вдвоє числа N як часових відліків сигналу s_T (t), так і відліків його спектра S_T (ω_n)= S(n) (рис. 6.5). Форма S_T (ω) при зменшенні Т частково змінюється за рахунок перекривання окремих спектрів S(ω-n2π/T) початкового сигналу тривалості Т_с.

Рисунок 6.5— Графік спектральної щільності (а) і ДТФ (б) дискретизованого прямокутного імпульса (до задачі 6.3)

Задача 6.4 Обчислити ДПФ X(k) для заданої гармонічної функції х(t) (рис.6.6) при кількості дискретизацій N=8 і вибраних значеннях коефіцієнтів ДПФ k=0,1,…,N-1.

Рисунок 6.6— Графік сигналу (до задачі 6.4)

Розв’язування:

З графіка (рис. 6.6) визначаємо:

x₀=0, x₁=3 , x₂=6, x₃=3 , x₄=0, x₅=-3 ,

x₆=-6, x₇=-3

ДПФ обчислюється за формулою (6.14)

Спочатку знаходимо значення ДТФ при k=0.

При k=1 отримуємо:

Аналогічно розраховуємо для інших значень k:

Обчислимо абсолютне значення X(k) за формулою:

де a_n i b_n - відповідно дійсна і уявна частини обрахованого вище значення X(k).

Тому числові значення модуля ДТФ будуть становити , а їх графічна інтерпретація наведена на рис.6.7а.

Враховуючи, що за умовою задачі N=8, T=0,1с (рис.6.6) отримуємо:

а – в залежності від коефіцієнтів ДТФ;

б – в залежності від досліджуваних частот ДТФ;

Рисунок 6.7— Графік ДТФ гармонічного сигналу (до задачі 6.4)

Тому графічне подання модуля ДТФ від частоти набуває вигляду на рис.6.7б.

Задача 6.5 Обчислити ДПФ X(k) для заданої функції х(t) (рис. 6.8) при N=6 і k=0,1,…,N-1:

Розв’язування:

З графіка (рис. 6.8) визначаємо:

x₀=0, x₁=5, x₂=5, x₃=0, x₄=-5, x₅=-5

ДПФ обчислюється за формулою (6.14), тобто аналогічно як в задачі 6.4.

Рисунок 6.8— Графік сигналу (до задачі 6.5)

Спочатку знаходимо значення ДТФ при k=0.

При k=1 отримуємо:

Аналогічно розраховуємо для інших значень k:

Обчислимо абсолютне значення X(k) за формулою:

де a_n i b_n - відповідно дійсна і уявна частини обрахованого вище значення X(k).

а – в залежності від коефіцієнтів ДТФ;

б – в залежності від досліджуваних частот ДТФ;

Рисунок 6.9 – Графік ДТФ гармонічного сигналу

(до задачі 6.5)

Тому числові значення модуля ДТФ будуть становити . А їх графічна інтерпретація наведена на рис.6.9а.

Враховуючи, що за умовою задачі N=6, T=0,1с (рис.6.8) отримуємо:

,

.

Тому графічне подання модуля ДТФ від частоти набуває вигляду на рис.6.9б.