7.2 Методичні рекомендації для розв’язування задач (на прикладах)
Задача 7.1 Обчислити АКФ для періодичного сигналу, який зображений на рис.7.1
Рисунок 7.1— Графік періодичного сигналу(до задачі 7.1)
Розв’язування:
Заданий сигнал періодичний, дискретизований в шістьох точках протягом періоду. Тому АКФ обчислимо за формулою (7.12), конкретизація якої набуває вигляду:
При k=0
При k=1
Аналогічно
отримаємо
За
результатами обчислень отриманий графік
залежності
від k
і
τ поданий
на рис7.2.
Задача7.2 Заданий сигнал (рис.7.1) дискретизувати в 12 точках протягом періоду і обчислити АКФ.
Розв’язування:
Конкретизація формули (7.12) для 12 точок має вигляд:
При k=0
Рисунок7.2— Графік автокореляційної функції(до задачі 7.1)
При k=1
Аналогічно розраховуємо значення АКФ для k=2,3,…,12 і будуємо графік, який зображений на рис.7.3.
Рисунок 7.3— Графік АКФ (до задачі 7.2)
7.3 Завдання для самостійної роботи
Задача 7.3 Обчислити і побудувати графік автокореляційних функцій сигналів (1)÷(9), які наведені в додатку А(вид сигналу і кількість точок дискретизації конкретизується викладачем).
Задача 7.4. Обчислити і побудувати графіки взаємних кореляційних функцій сигналів (10)÷(13), які наведені в додатку А(види сигналів і кількість точок дискретизації конкретизується викладачем).
7.4 Запитання для самоконтролю
Охарактеризуйте суть і особливості алгоритму розрахунку АКФ дискретизованих сигналів.
Охарактеризуйте суть і особливості алгоритму розрахунку ВКФ дискретизованих сигналів.
Порівняльний аналіз алгоритмів розрахунку кореляційних функцій періодичних і неперіодичних сигналів.
Що означає термін «прямий метод оцінки АКФ» і які є інші методи розрахунку АКФ?
Охарактеризуйте суть отримання зміщених і незміщених оцінок АКФ.
Поясніть термін «інтервал кореляції».
Чи впливає інтервал дискретизації інформаційного сигналу на вид його АКФ і чому?
Яку інформацію отримуємо при розрахунку АКФ для нульового часового зсуву і як вона називається?
ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №8
СПЕКТРАЛЬНИЙ АНАЛІЗ АНАЛОГОВИХ ДИСКРЕТИЗОВАНИХ ЗАГАСАЮЧИХ ІНФОРМАЦІЙНИХ СИГНАЛІВ
Мета і завдання заняття: Засвоїти основи обчислення спектральних характеристик загасаючих інформаційних сигналів. Набути практичних навиків особливостей дослідження загасаючих сигналів, поданих в аналоговій і дискретизованій формах.
Тривалість заняття – 2 год.
8.1 Основні теоретичні відомості
Реальні інформаційні сигнали в засобах неруйнівного контролю внаслідок дії різної фізичної природи сил опору їх проходженню через реальне середовище чи в електричних колах або за рахунок втрат енергії без її поповнення часто можуть мати загасаючий характер. Цим видом також характеризуються спеціальні тестові сигнали при дослідженні і налагодженні систем обробки сигналів засобів неруйнівного контролю. Загасаючий характер властивий, наприклад, струму в резонансному контурі після стадії його збудження.
В загальному виді загасаючі сигнали можуть бути подані в аналоговій і дискретизованій формах, які будуть відповідним чином формувати особливості їх аналізу, в тому числі і спектрального.
Суть спектрального аналізу неперервного в часі сигналу f(t) зводиться до здійснення над ним трансформації Фур'є (пряме перетворення Фур'є) згідно такого алгоритму:
F(jω)=
e-jωtdt,
(8.1)
де F(jω)— спектральна функція; ω— кругова частота.
З алгоритму (8.1) очевидно, що функція F(jω)є комплексною функцією з дійсною та уявною частинами, яку також можна подати у вигляді її модуля та фази. У багатьох практичних випадках обчислюють лише модуль функції F(jω) в залежності від ω, який називається амплітудним спектром. Для цього використовується формула:
F(jω)
,
(8.2)
де | F(jω)| — модуль перетворення Фур'є досліджуваної функції; Re(F(jω)) і Im(F(jω)) — дійсна та уявна частина перетворення Фур'є відповідно.
Фазу спектральної функції F(jω) знаходять з виразу:
,
(8.3)
де arg(F(jω)) — аргумент функції F(jω).
Спектральний аналіз можна здійснювати також над дискретизованим, обмеженим в часі сигналом. Суть дискретизації сигналу, яку виконують як підготовну операцію перед його дослідженням, полягає в тому, що при його аналізі відомі тільки вибіркові значення f(nTa) функції f(t) для дискретних точок часу nTa, отриманих з періодом дискретизації Ta при набутті індексом n значень від 0 до N–1 (N —загальна кількість точок дискретизації). Обчислення спектральної функції F(jω) по дискретизованих значеннях досліджуваної функції f(t) називається дискретною трансформацією Фур'є (ДТФ) Fd(jω) і записується алгоритмом:
.
(8.4)
Порівняльний аналіз трансформації Фур’є для неперервного і дискретизованого сигналів дає можливість зробити такі висновки щодо їх спільних властивостей:
якщо функція f(t) парна, тобто fn=f–n, то спектральна функція також парна і дійсна;
якщо функція f(t) непарна, тобто fn= –f–n, то спектральна функція непарна та уявна;
функції F(jω) та F(–jω), а також Fd(jω) та Fd(–jω) є комплексноспряжені.
Поряд з цим ДТФ додатково має ще такі особливості:
періодичність відносно аргументу ω з періодом 2π/Ta та періодичність відносно аргументу f з періодом fa=1/Ta;
дорівнює по величині та по одиниці вимірювання трансформації Фур'є лише після перемноження з інтервалом дискретизації Ta;
повинна обчислюватись лише для дискретних значень ωk , які визначаються з формули:
(8.5)
де
k=0,
1, 2, …,
Якщо в рівнянні (8.4) замінити ω через ωk, то отримаємо такі форми запису ДТФ:
(8.6)
.
(8.7)
Отримані вирази свідчать, що амплітудний спектр при ДТФ подається у вигляді набору N спектральних ліній, які знаходяться на відстані Δω одна від одної
.
(8.8)
Звідси виходить, що спектральне розрізнення вимірювання є обернено пропорційне часу спостереження NTa функції f(t).
При побудові ДТФ важливе місце займає вибір частоти дискретизації fa. Щоб отримувані спектри ДТФ, які повторюються з періодом ω=2π/Ta, не перекривалися, найбільша частота сигналу fmax не повинна перевищувати половини частоти дискретизації fa:
(8.9)
або
(8.10)
Умови (8.9) і (8.10) носять назву теореми про вибірки (дискретизацію) і свідчать про те, що частота дискретизації повинна бути більшою, ніж подвійне значення максимальної частоти із тих, що містяться в сигналі.