2.2 Методичні рекомендації для розв’язування задач (на прикладах)

Задача 2.1 Знайти кореляційну функцію R_x( ) трикутного імпульса тривалістю _и з амплітудою A (рис. 2.1а). Визначити енергію імпульсу, яка виділяється на опорі 1Ом. Побудувати графік функції.

а – графік імпульса;

б – нормована кореляційна функція.

Рисунок 2.1— Графіки імпульса і кореляційної функції

(до задачі 2.1)

Розв’язування:

Сигнал, який розглядається, записується рівняннями:

Його кореляційна функція:

В області маємо .

Нормована за максимальним значенням R_x(0) кореляційна функція представлена на рис. 2.1б.

Енергія імпульсу, яка виділяється в опорі R=1 Ом, обчислюється з виразу E=R_x(0)=A^{2 .}

Задача 2.2 Знайти взаємну кореляційну функцію двох прямокутних імпульсів з параметрами U₁=1 мВ, мс і U₂=2 мВ, мс (рис. 2.2а).Визначити інтервал кореляції.

Розв’язування:

Взаємна кореляційна функція двох прямокутних імпульсів напруги при зсуві імпульсу протяжністю 0,5 мс на час представляється відрізками прямих, які визначаються формулами:

а – графіки імпульсів;

б – взаємна кореляційна функція.

Рисунок 2.2 – Графіки імпульсів і їх взаємної кореляційної функції (до задачі 2.2)

,

Графік функції R₂₁( ) показаний на рис. 2.2б. Інтервал кореляції 1,5 мс.

Задача 2.3 Знайти кореляційну функцію R_x( ) імпульса, який зображений на рис. 2.3а. Визначити енергію імпульсу, яка виділяється на опорі 1 Ом. Побудувати графік залежності відношення R_x( )/R_x(0) і визначити інтервал кореляції.

а) б)

а – графік імпульса;

б – нормована кореляційна функція.

Рисунок 2.3 – Графіки імпульса і кореляційної функції (до задачі 2.3)

Розв’язування:

Кореляційна функція на інтервалі визначається з виразу:

На інтервалі отримуємо:

При становить R_x( )=0.

Енергія імпульсу, яка виділяється на опорі 1 Ом, обчислюється з виразу Е=R_x(0)=2A² .

Графік функції показаний на рис. 2.3б. Інтервал кореляції рівний 4 .

Задача 2.4 Знайти кореляційну функцію сигналу пилоподібної форми з періодом Т і амплітудою А (рис. 2.4а). Зобразити графік R_x( ). Визначити середню потужність, яка виділяється в опорі 1 Ом.

а – графік імпульса;

б – нормована кореляційна функція.

Рисунок 2.4 – Графіки імпульса і кореляційної функції (до задачі 2.4)

Розв’язування:

Кореляційна функція періодичного коливання пилоподібної форми визначається виразом

Розрахована за цією формулою кореляційна функція показана на рис. 2.4б. Середня потужність, яка виділяється на опорі 1 Ом, становить P=R_xпер(0)=А²/3.

Задача 2.5 Задано стаціонарний випадковий процес:

, В, де U₀ — амплітуда, ω₀— частота, φ— випадкова величина, рівномірно розподілена в інтервалі -π≤ φ ≤ π. Знайти його коваріаційну і кореляційну функції.

Розв'язування:

Коваріаційна функція:

.

Підставимо замість u(t) вираз з умови.

.

Остаточно:

.

Коваріація та кореляція пов'язані між собою наступним співвідношенням:

, то очевидно для цього прикладу:

,бо m_U=0.

а)

б)

а – графік імпульса;

б –кореляційна функція.

Рисунок 2.5— Графіки імпульса і кореляційної функції (до задачі 2.5)

Автоковаріаційна функція гармонійних коливань з випадковою фазою також є гармонійна функція (косинусоїда) з частотою ω₀ незалежно від початкової фази φ.

Задача 2.6 Визначити автокореляційну функцію R_x(τ) для процесу, графік спектральної щільності якого поданий на рис. 2.6

Рисунок 2.6— Графік спектральної щільності процесу (до задачі 2.6)

Розв’язування:

Рівняння прямої 1 — G(ω)=2,5ω+5 при –2≤ω≤0;

прямої 2 — G(ω)=–2,5ω+5 при 0≤ω≤2.

Автокореляційна функція та спектральна щільність пов'язані залежністю (2.18).

Однак, так як для стаціонарного випадкового процесу R(τ) і G(ω) є функції парні, то можна записати цей взаємозв’язок через функцію косинуса:

.

Задача 2.7 Спектральна щільність потужності W() стаціонарного процесу x(t) задана графічно (рис.2.7). Визначити дисперсію і кореляційну функцію процесу, вказати їх розмірності.

Рисунок 2.7— Графік спектральної щільності (до задачі 2.7)

Розв`язування:

Кореляційна функція визначається з формули

а її графік показаний на рис. 2.8

Рисунок 2.8— Графік кореляційної функції (до задачі 2.7)

Дисперсію визначають безпосередньо по спектральній щільності потужності із виразу:

Розмірність кореляційної функції і дисперсії процесу x(t) співпадають і можуть бути або [A²], або [В²], в залежності від того, що описує функція x(t) –струм чи напругу.