1.3 Завдання для самостійної роботи

Задача 1.8 Знайти щільність ймовірності для графічно заданої (рис. 1.4) функції розподілу F(x) і перевірити основну властивість щільності ймовірності.

Рисунок 1.5— Графік функції розподілу випадкової величини х (до задачі 1.8)

Задача 1.9 Функція розподілу стаціонарної випадкової напруги u(t) має вигляд:

Визначити математичне сподівання, середній квадрат, дисперсію і середнє квадратичне значення цього процесу. Пояснити фізичну суть цих параметрів.

Задача 1.10 Функція розподілу стаціонарної випадкової напруги u(t) має вигляд:

Визначити математичне сподівання, середній квадрат, дисперсію і середнє квадратичне значення цього процесу. Пояснити фізичну суть цих параметрів.

Задача 1.11 Знайти математичне очікування, дисперсію і середнє квадратичне значення стаціонарної випадкової напруги, яка задана щільністю ймовірності:

Задача 1.12 По заданій функції розподілу товщини стінки труби F(h) знайти математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне значення випадкового процесу

при a=10 мм; b=11 мм.

Задача 1.13 По відомій щільності ймовірності стаціонарного випадкового процесу (напруги) визначити коефіцієнт α і функцію розподілу F(U).

1.4 Запитання для самоконтролю

1. Охарактеризуйте суть і причини існування випадкових процесів. Наведіть їх приклади.

2. Перелічіть і охарактеризуйте ймовірнісні характеристики випадкових процесів.

3. Що таке функція розподілу і які її властивості?

4. Що таке щільність ймовірності і які її властивості?

5. Запишіть відомі вам моментні функції і алгоритми їх визначення.

6. Яка фізична суть математичного сподівання і дисперсії випадкового процесу?

7. Порівняйте кореляційну і коваріаційну функцію випадкових процесів.

8. Чому моментні функції інформаційних сигналів відносять до ймовірнісних характеристик випадкових процесів?

Практичне заняття №2 розрахунок кореляційних функцій аналогових інформаційних сигналів

Мета і завдання заняття: Засвоїти суть, означення, види і алгоритми обчислення кореляційних функцій інформаційних сигналів. Набути практичних навиків розрахунку аналітичними методами кореляційних і взаємних кореляційних функцій аналогових інформаційних сигналів.

Тривалість заняття — 2 год.

2.1 Основні теоретичні відомості

Енергетичні характеристики окремого процесу або двох взаємопов’язаних процесів і оцінюється за допомогою кореляційних функцій (автокореляційною, автоковаріаційною, взаємною кореляційною та взаємною коваріаційною).

Використовуючи ймовірнісні характеристики інформаційних сигналів коваріаційна (автоковаріаційна) функція визначається через взаємозв’язуючі ймовірнісні характеристики інформаційних сигналів, зокрема через змішану моментну функцію другого порядку:

(2.1)

а кореляційна (автокореляційна) функція— через центральну змішану моментну функцію другого порядку:

(2.2)

У формулах (2.1), (2.2) введені такі позначення:

— реалізація інформаційного сигналу; — двовимірна щільність ймовірності двох зна­чень інформаційного сигналу , які відповідають двом довільно вибраним моментам часу ; —математи­чне сподівання інформаційноо сигналу .

Для встановлення взаємозв’язку між кореляційною і коваріаційною функціями з формули (2.2) знаходимо:

(2.3)

Отже, коваріаційна функція має вигляд

(2.4)

Кореляційна і коваріаціійна функції збігаються, якщо середнє значення x(t), а отже і дорівнюють нулю.

Кореляційні і коваріаційні функції визначаються для довільних фіксованих моментів часу t₁=t і t₂=t+τ:

(2.5)

(2.6)

У загальному випадку ці величини різні для різних комбінацій t₁ і t₂. Зазначимо, що при τ = 0 (t₁ = t₂ = t) отримуємо:

(2.7)

У виразах (2.6), (2.7) позначення носить назву центрованої функції.

Отже, при τ = 0 коваріаційна функція K_x(t, t) збігається із середнім квадратом випадкового процесу , а кореляційна функція R_x(t, t)— з його дисперсією .

Для обмеженого процесу x(t) автокореляційна функція визначається в такий спосіб:

(2.8)

де -зміщення.

При =0 величина має значення

(2.9)

В переважній більшості літературних джерел з метою спрощення запису формул позначення нулика при визначенні автокореляційної функції не наводять, хоча під функцією розуміють центровану функцію . Тому в подальшому викладенні матеріалу даних методичних вказівок поступлено аналогічним чином.

Функцію також можна тлумачити як енергію взаємодії коливань і . Максимум енергії настає при і дорівнює енергії коливання . Тому функцію часто нормують по

(2.10)

де - нормована кореляційна функція.

Для необмежених за часом процесів, зокрема для будь-яких періодичних, інтеграл (2.8) розходиться. Для цих процесів автокореляційна функція визначається інакше:

(2.11)

Розмірність в (2.8) відмінна від розмірності в (2.11), оскільки у виразі (2.11) перед знаком інтеграла є множник 1/Т. Для процесу з періодом значення не змінюється, якщо розглядуваний часовий інтервал обмежити одним періодом:

(2.12)

Основні загальні властивості автокореляційної функції є такими:

1. Функція набуває максимального значення при , яке дорівнює енергії процесу (максимальне нормоване значення дорівнює одиниці).

2. Для реальних коливань (тобто обмежених за енергією і тривалістю) є спадною, але не обов’язково монотонною функцією. Наприклад, періодичні коливання породжують коливальний характер автокореляційної функції. Це легко перевірити, зокрема, на імпульсному сигналі вигляду

(2.13)

для якого

при . (2.14)

3. Для коливань, обмежених тривалістю T, автокореляційна функція тотожньо дорівнює нулю за межами відрізка осі

4. Функція задовольняє умову симетрії:

(2.15)

5. Для реальних коливань, що задовольняють умову неперервності має неперервну першу похідну, яка при перетворюється в нуль.

Аналогічно визначенню автокореляційної функції для процесу визначається і взаємна кореляційна функція для двох процесів і яка в цілому характеризує ступінь зв’язку між значеннями функції в дані моменти часу і значеннями функції в моменти часу, що зміщені на величину відповідно до даних моментів часу.

Для обмежених за часом процесів і їх взаємною кореляційною функцією вважається

(2.16)

Для необмежених за часом процесів і їхня взаємна кореляційна функція визначається як

(2.17)

Якщо є спектральною функцією процесу (див. далі практ. заняття №3), то автокореляційну функцію можна обчислити за формулою:

(2.18)