Практичне заняття №1 розрахунок ймовірнісних характеристик інформаційних сигналів

Мета і завдання заняття: Засвоїти суть, означення, види і алгоритми обчислення ймовірнісних характеристик ін­формаційних сигналів. Набути практичних навиків розраху­нку аналітичними методами ймовірнісних характеристик ви­падкових процесів.

Тривалість заняття – 2 год.

1.1 Основні теоретичні відомості

Інформаційні сигнали в засобах неруйнівного контролю внаслідок дії різного виду інформаційних впливів і завад як на об’єкт контролю, так і на вузли зняття і обробки інформації носять в переважній своїй більшості випадковий характер, що дає можливість їх характеризувати з точки аналізу і вивчення випадкових процесів. Випадковий процес— це сукупність фу­нкцій часу. Повна сукупність цих функцій становить ансамбль і позначається {x_k(t)}, де будь-яка компонента х_к(t) є вибіркова функція (реалізація) випадкового процесу. Як правило, при неруйнівному контролі спостерігається і обробляється тільки одна вибіркова функція, а решта— інших можливих реаліза­цій в принципі можуть бути відсутні. Випадкова функція позначається х(t). Значення її реалізацій х(t_i) у деякий мо­мент часу t_i, визначає випадкову величину х(t_i) або просто X_i. Для будь-якого п і будь-яких фіксованих моментів часу t₁ , t₂,…, t_п значення процесу х(t₁), х(t₂), х(t₃), …, х(t_n) становлять п випадкових величин. Вважають, що для будь-якого п існує цілком визначена n-вимірна щільність ймовірності.

Згідно викладеного можна дати таке визначення ви­падкової функції. Функція x(t) дійсної змінної t називається випадковою, якщо для кожного значення аргументу t вона є випадковою величиною. Інакше кажучи, випадкова функ­ція— це сім'я випадкових величин x(t) залежних від дійсного параметра t. Якщо параметром t є поточний час, то випад­кова функція x(t) називається випадковим процесом. На відміну від детермінованого процесу, випадковий процес показує такі зміни за часом фізичного явища або стану технічного об'єкта, які завчасно передбачити неможливо.

Узагальнення підходів до методів аналізу випадкових ве­личин як до випадкових сигналів (процесів) при неруйнів­ному контролі по своїй суті є досить простим щодо викори­стання математичних процедур. Проте складнішим етапом, що має концептуальне значення, є встановлення зв'язку ма­тематичних моделей випадкових величин з фізичними влас­тивостями випадкового процесу. Так, якщо випадкова вели­чина визначається множиною її можливих значень і розподі­лом ймовірностей на цій множині, то випадковий процес ха­рактеризується множиною функцій часу

(1.1)

та ймовірнісною мірою (функція розподілу та щільність ймовірності), заданою на множині функцій (1.1). Кожна окрема реалізація х_к(t) має k-те позначення. Множину Т зна­чень параметра t називають областю визначення випадкового процесу х(t), а множину X, якій належать можливі значення х_к(t),— простором значень випадкового процесу.

Нехай маємо довільне число п моментів часу (t₁ , t₂,…, t_n)=t, t є Т.Сукупність значень випадкового процесу у вказані моменти часу х(t_i), (i=1,2…n,) утворюють систему випадкових величин (векторну випадкову величину)

. (1.2)

Тоді ймовірнісними характеристиками випадкових по­слідовностей і випадкових процесів з безперервним часом (за часової дискретизації) є функції сумісного розподілу вказа­них випадкових величин.

Для випадкових процесів із безперервним часом, фік­суючи послідовно n=1,2,… моментів часу, можна обчислити значення функцій розподілу випадкового процесу x(t).

Одновимірна функція розподілу F₁(x₁,t₁) визначається із виразу

(1.3)

де — ймовірність того, що випадкова змінна х₁ набуває значень більших або рівному заданому значенню х(t₁) випадкової функції х(t).

Аналогічно записується вираз для двовимірної функції розподілу

(1.4)

і т. д. для довільної скінченновимірної

.

Послідовність функцій розподілу F₁(x₁;t₁), F₂(x₁,x₂; t₁,t₂),…, F_n(x₁,x₂,…,x_n; t₁,t₂,…,t_n) є своєрідними східцями, піднімаючись по яких вдається детальніше характеризувати випадковий процес і по суті є більш точнішою математичною моделлю цього процесу.

Щоб функція розподілу ймовірностей F_x(x) була ймовірністю, вона має задовольняти таким властивостям:

1) (1.5)

2) (1.6)

3) не зменшується при зростанні х; (1.7)

4) при (1.8)

На рис. 1.1 а показано графік функції розподілу ймовірностей для безперервної випадкової величини, що змінюється від -∞ до +∞; на рис.1.1 б – для випадкової величини від а до б, на рис. 1.1 в – для дискретної випадкової величини, що може набувати тільки п’яти можливих значень (х₁, х₂, х₃, х₄, х₅).

Рисунок 1.1— Приклади функції розподілу ймовірностей

Ймовірнісними характеристиками випадкового процесу є одновимірна щільність розподілу ймовірності:

(1.9)

Аналогічно записується вираз двовимірної щільності розподілу ймовірності:

(1.10)

і т. д. для довільної n-вимірної .

Основні властивості щільності розподілу ймовірностей записуються так:

1) (1.11)

2) ; (1.12)

3) ; (1.13)

4) . (1.14)

Рисунок 1.2— Щільності розподілу ймовірностей для функцій розподілу, зображених на рис. 1.1.

На рис. 1.2 наведено приклади графіків щільності розподілу ймовірностей, що відповідають функціям розподілу, проілюстрова­ним на рис. 1.1. Тут особливо зазначимо, що щільність розподілу ймовірностей для дискретної випадкової величини є су­купністю дельта-функцій, площина кожної з яких дорівнює від­повідному стрибковому прирощенню функції розподілу ймовірностей.

Скінченновимірні функції розподілу і щільності ймовірності випадкового процесу визначають «тонку структуру» процесу. Більш «грубий» ймовірнісний опис процесу дають числові характеристики (моментні функції), які становлять відповідні статистичні середні значення. Зазначимо, що моменти і функції не характеризують випадковий процес однозначно, бо навіть два різні процеси можуть мати однакові значення одної чи декількох моментних функцій.

Для розв'язання багатьох прикладних задач необхідно знати такі моментні функції:

- середнє значення (математичне сподівання) випадкового процесу (моментну функцію першого порядку)

; (1.15)

- середній квадрат випадкового процесу (моментну функцію другого порядку)

(1.16)

- коваріаційну функцію (змішану моментну функцію другого порядку)

(1.17)

- дисперсію (центральну моменту функцію другого порядку)

(1.18)

- кореляційну функцію (центральну змішану моментну функцію другого порядку)

Поряд з наведеними моментними функціями на практиці широко використовується середнє квадратичне значення процесу, яке є додатним значенням квадратного кореням середнього квадратного випадкового процесу

(1.20)

а також середнє квадратичне відхилення, що є додатним квадратним коренем з дисперсії

(1.21)

Середнє значення визначає розташування центра розсіяння випадкового процесу {x_k(t)}, а дисперсія характеризує розсіяння значень {x_k(t)}. Середній квадрат дає міру одному і другому. З формули (1.18) знаходимо

(1.22)

Отже, середній квадрат обчислюється за формулою

(1.23)

Дисперсія і середній квадрат збігаються, якщо середнє значення x(t) дорівнює нулю.