4.1 Основні теоретичні відомості

Важлива особливість неперіодичних і випадкових про­цесів, що відрізняє їх від періодичних, полягає в тому, що їх не можна характеризувати дискретним спектром. Здебільшого для перехідних процесів можна отримати неперервне спект­ральне зображення, використовуючи зображення Фур’є, яке є узагальненням ряду Фур’є.

Узагальнення ряду Фур’є на випадок неперіодичних фу­нкцій отримуємо на основі дослідження структури ряду Фур’є для періодичної функції в граничному випадку дуже великого періоду. Для періодичної функції великого періоду Т вихід­ними є співвідношення:

, (4.1)

, (4.2)

де — значення аналогового інформаційного си­гналу в будь-який момент часу t в межах досліджуваного періоду Т; — значення спектральної характеристики ін­формаційного сигналу (коефіцієнти ряду Фур’є) для будь-якої частоти кратності n відносно першої гармоніки, рівної .

Припустимо, що в (4.1) частота f=n/T зберігає стале значення f за рахунок відповідної зміни n при зміні Т. Коефіцієнти (4.2) ряду Фур’є (4.1) (спектр періодичної функції x_T(t)) як функції частоти f визначаються з виразу:

. (4.3)

Зі збільшенням періоду Т лінії в спектрі X_T(f) наближуються між собою, як показано на рис.4.1

а – спектр при Т=Т₀

б – спектр при Т₁>Т₀

Рисунок 4.1— Спектр X_T(f) для двох значень періоду T

При записі рівняння (4.1) з врахуванням позначення f=n/T, отримуємо:

. (4.4)

Тепер спрямуємо період Т до нескінченності (Т), зберігаючи при цьому f=n/T сталим. Внаслідок цього періодична функція x_T(t) перетвориться на періодичну функцію x(t) без конкретизації періоду. Формально (4.3) прямує до X(f):

, (4.5)

а сума (4.4) є апроксимацією інтеграла:

. (4.6)

Величина (4.5) називається спектральною функцією або спектральною характеристикою, яка відповідає процесу x(t). Спектральна функція не залежить від часу (внаслідок інтегрування по t) і є комплексною функцією частоти, визначеною при додатних та від’ємних значеннях останньої. Вигляд спектральної функції залежить лише від форми (аналітичного виразу) процесу x(t).

Формулу (4.6) називають також інтегралом Фур’є для періодичного процесу x(t).

Формули (4.5) і (4.6) називають парою перетворень Фур’є. При цьому формула (4.5) дає змогу здійснити пряме перетворення і знайти спектральну функцію, що відповідає процесу x(t). Формула (4.6) дає змогу здійснити обернене перетворення та обчислити значення процесу в будь-який момент часу, якщо задана його спектральна функція.

Алгоритм (4.5) прямого перетворення Фур’є функції x(t) можна записати через формулу:

, (4.7)

і відповідно x(t) можна зобразити за допомогою оберненого перетворення Фур’є (або інтеграла Фур’є) у вигляді

. (4.8)

У формулі інтеграла Фур’є (4.8) підінтегральний вираз є нескінченно малою величиною. Тоді, якщо розглянути її як елементарне коливання з нескінченно малою амплітудою dc, яке зображується виразом , і порівняти цей вираз з виразом в (4.8), можна записати

. (4.9)

Із (4.9) слідує, що величина X(f) пропорційна похідній від амплітуди по частоті f або, що те саме, щільності амплітуди по частотному спектру. У зв’язку з цим вона називається також спектральною щільністю аперіодичної функції x(t).

Отже, X(f)df є “вкладом” від комплексної експоненти exp(j2ft), що “міститься” в x(t). Інакше кажучи, вираз (4.7) аналізує функцію x(t) на основі використання її спектральних складових, а (4.8) синтезує (або відновлює) x(t) із цих складових.

З розглянутого видно, що інтеграл Фур’є (4.8) визначає процес x(t) у вигляді нескінченної суми нескінченно малих гармонічних складових, розташованих на всіх частотах. На підставі цього говорять про неперервний (суцільний) спектр, який має процес. Слід, однак, пам’ятати, що X(f)— не спектр, а спектральна характеристика процесу.

Алгоритми запису перетворення Фур’є (4.7) і (4.8) забезпечують максимальну симетрію і простоту. Здебільшого вони використовуються в літературі з радіо та зв’язку. Поряд з цим в літературі, присвяченій вивченню різноманітних систем обробки інформації (у тому числі і у неруйнівному контролі), часто використовується інша форма, в якій комплексна експонента зображена не як функція циклічної частоти f, а як функція кругової частоти  =2f.

Враховуючи, що і , перетворення Фур’є (4.5) і (4.6) записуються у вигляді

, (4.10)

. (4.11)

Спектральна характеристика (спектральна функція, або, що те саме, спектральна щільність) X()=X(j) є комплексною величиною і тому може зображуватися у вигляді

(4.12)

або в полярній формі

, (4.13)

де P(), Q()— відповідно дійсна та уявна частини X(j); |X(j)|, ()— модуль та фаза, які визначаються за формулами

, (4.14)

. (4.15)

У зв’язку з цим функцію X(j) називають також комплексним спектром, а її модуль |X(j)|— просто спектром аперіодичної функції x(t).

Для безпосереднього знаходження спектральної функції X()=X(j) обчислюється інтеграл (4.10),виділяються дійсна Р() і уявна Q() частини згідно з (4.12), а потім за формулами (4.14), (4.15) визначаються |X(j)| та ().

На рис.4.2 наведені графіки сигналів і модулів та фаз їх неперервних спектрів для трьох перехідних процесів.

Відповідно до теореми Вінера-Хінчина кореляційна функція стаціонарного випадкового процесу пов’язана із спектральною щільністю цього процесу оберненим перетворенням Фур’є:

, (4.16)

а спектральна щільність стаціонарного процесу є перетворенням Фур’є кореляційної функції:

. (4.17)

а – загасаючий експоненційний;

б – загасаючий гармонічний;

в – загасаючий стрибкоподібний.

Рисунок 4.2— Графіки і спектри перехідних процесів