6.3 Завдання для самостійної роботи

Задача 6.6 Обчислити ДПФ для сигналів (1)÷(9), які наведені в додатку А (вид сигналу, кількість точок дискретизації і кратність роздільної здатності ДТФ задається викладачем).

6.4 Запитання для самоконтролю

1. Охарактеризуйте суть і особливості дискретизації аналогових сигналів.

2. Дати визначення і пояснити суть спектральної щільності сигналів.

3. Дати визначення і пояснити суть дискретної трансформації Фур’є сигналів.

4. Порівняльний аналіз спектральної щільності і ДТФ сигналів.

5. Чим визначається розрізняюча здатність ДТФ і що під цим поняттям розуміють? Запишіть формулу для її обчислення.

6. Які є критерії дискретизації сигналів?

7. Пояснити терміни „інтервал Найквіста”, „коінтервал Найквіста”.

8. Пояснити терміни „частота Найквіста” і „коефіцієнти ДПФ”.

Практичне заняття №7 цифрове обчислення кореляційних функцій дискретизованих періодичних і випадкових сигналів

Мета і завдання заняття: Засвоїти суть, означення і алгоритми обчислення кореляційних функцій дискретизованих інформаційних сигналів. Набути практичних навиків розрахунку автокореляційних і взаємних кореляційних функцій дискретизованих періодичних і випадкових процесів.

Тривалість заняття – 2 год.

7.1 Основні теоретичні відомості

Безпосереднє оцінювання автокореляційних функцій – прямий метод – полягає в обчисленні середніх значень добутку змінних, в тому числі і випадкових значень, які утворюють вибірку інформаційного сигналу.

Для неперервного випадкового процесу x(t), що розглядається на інтервалі [0,T], оцінка кореляційної функції визначається інтегралом типу згортки:

. (7.1)

Вважатимемо, що цей самий процес x(t) заданий на тому самому інтервалі [0,T] у точках ,тобто розглядатимемо N значень випадкової послідовності , яка належить ергодичному процесові та має середнє значення . Для послідовності {x[n]} дискретним буде і вираз для оцінки автокореляційної функції(АКФ). Його можна отримати з (7.1), якщо для обчислення використати формулу прямокутників. При цьому маємо дискретну згортку

(7.2)

Виразом (7.2) можна користуватися тільки при додатних значеннях індексу часового зсуву (ці зсуви дорівнюють секундам). Оцінки автокореляційної функції при часових зсувах, більших за , неможливі через скінченність запису наявних даних. При від'ємних значеннях індексу кореляційного зсуву вираз (7.2) слід модифікувати і записати так:

. (7.3)

Оцінка (7.3) є симетричною, оскільки вона задовольняє умову . Це дає змогу при обчисленні оцінки вико­ристовувати тільки додатні індекси. Отже, 2N-1 автокореляційних зсувів можна оцінювати за N відліками даних.

Дискретна послідовність формує незміщені оцінки справ­жньої АКФ, так як

. (7.4)

Залежність дисперсії оцінки АКФ для гауссових процесів визначається таким наближеним виразом:

(7.5)

Тут вважається, що N>>k, тобто індекс часового зсуву набага­то менший за кількість відліків даних. Зазначимо, що при збіль­шенні індексу часового зсуву значення дисперсії (7.5) збільшу­ються. Отже, усереднення можливе лише при невеликій кількості відліків даних (при великих часових зсувах). Зі збільшенням зна­чення індексу часового зсуву k статистична невизначеність оцінки АКФ збільшується. При збільшенні N значення дисперсії прямує до нуля, тобто є статистично обґрунтованою оцінкою дискретно-часової автокореляційної послі­довності.

Альтернативна оцінка АКФ має такий ви­гляд:

(7.6)

Ця оцінка відрізняється від оцінки тільки нормувальним множником, тобто

. (7.7)

При скінченному N оцінка (7.6) буде зміщеною, оскільки

.

Однак при вона буде асимптотично незміщеною. Дисперсія цієї оцінки визначається таким наближеним виразом:

(7.8)

При фіксованому значенні часового зсуву значення цієї дисперсії прямує до нуля, коли кількість відліків збільшується. Для типових застосувань середній квадрат похибки (сума дисперсії та квадрата зміщення) буде, як правило, більший для оцінки , особливо в тих випадках, коли максимальне значення часового індексу на­ближатиметься до кількості відліків.

До незміщених оцінок АКФ можуть при­водити такі оцінки автокореляційної функції, які в дійсності не є автокореляційними послідовностями. Наприклад, розглянемо пос­лідовність даних . Для трьох значень зсуву дістанемо такі значення оцінки автокореляційної функції: . Зазначимо, що , а це суперечить одній із властивостей АКФ. Тому часто перевага віддається зміщеній оцінці АКФ.

При нульовому часовому зсуві оцінки (7.2) і (7.6) мають од­накове значення:

. (7.9)

Ця величина характеризує повну енергію (потужність) процесу, що вимірюється. Отже, обидві ці оцінки зберігають енергію (потуж­ність) процесу, що вимірюється.

Аналогічно визначається оцінка взаємної кореляційної функції (ВКФ). Припустимо, наприклад, шо є дві послідовності даних і , де часовий індекс змінюється від до . Тоді зміщена оцінка ВКФ визначиться так:

(7.10)

У виразі для незміщеної оцінки ВКФ перед сумою замість множника буде множник . На відміну від оцінки АКФ значення оцінки ВКФ повинні обчислюватись і при від'ємних значеннях часового індексу k, оскільки . Математично можна також показати, що зміщення і дисперсія зміщених оцінок ВКФ поводять себе ідентично зміщенню і дисперсії зміщених оцінок АКФ.

Нижче також подаються іншого вигляду практичні формули для обчислення АКФ і ВКФ.

АКФ для неперіодичного процесу обчислюється за формулою:

(7.11)

де N-кількість дискретизованих точок; k-крок зсуву, який набуває значень 0,1,2…N-1; Δt-інтервал дискретизації; x_і— значення функції х(t) в і-й точці квантування (і набуває значень 1,2…N);

Якщо k=0, то

Якщо k=1, то

Якщо k=2, то

Якщо k= N-1, то

АКФ для періодичного cигналу обчислюється за формулою:

(7.12)

ВКФ для неперіодичного процесу обчислюється за формулою:

(7.13)

ВКФ для періодичного cигналу обчислюється за формулою:

(7.14)