4. Електромагнітні коливання

Електромагнітні коливання – це процеси, в яких такі величини, як заряд, струм, напруженості електричного та магнітного полів тощо, змінюються періодично. Електромагнітні коливання мають дуже широкий спектр практичного використання: майже всі області електротехніки, оптика, радіотехніка. Окремим випадком є елек­трич­ні коливання.

4.4.1. Рівняння електричних коливань

Розглянемо коло, до якого входить джерело струму з електро­рушійною силою  (в загальному випадку – змін­ною), індуктивність L, ємність С та активний опір R, що з’єднані послідовно (мал. 4.25). Запишемо вираз, який пов’язує спад напруги на опорі U_R = IR, напругу на конденсаторі U_c = q/C, напругу на індуктивності та е.р.с. джерела : U_R + U_C + U_L = 

.

Мал. 4.25.

Оскільки за означенням I = dq/dt, після диференціювання за часом, одержимо диференційне рівняння електричних коливань:

. (4.66)

Це рівняння виражає залежність сили струму від часу і є лі­ній­ним неоднорідним диференційним рівнянням другого порядку з по­стій­ними коефіцієнтами. Аналогічне рівняння можна отримати і для інших електричних величин (наприклад, заряду на конденсаторі q).

Вільні гармонічні коливання. Якщо джерело має постійну в часі ЕРС, тобто d/dt = 0, то рівняння (4.66) стає однорідним. За аналогією з механічними коливаннями це є рівняння згасаючих коливань

= 0. (4.67)

За відсутності опору (R = 0) рівняння (4.67) перетворюється в рівняння вільних гармонічних коливань

.

Розділивши ліву частину цього рівняння на L, матимемо:

, (4.68)

де ₀ – власна частота вільних електричних коливань

₀ = . (4.69)

Рівняння (4.68) має своїм розв’язком гармонічну функ­цію

I = I₀ sin(₀t + ₀). (4.70)

Вираз, котрий стоїть під знаком синуса (або косинуса), називають фазою коливань . У даному випадку  = ₀t + ₀, де ₀ – початкова фаза. Мінімальний проміжок часу, через який фаза повторює своє значення, називається періодом коливань. Період власних коливань

T = 2/₀ = 2 . (4.71)

Ця формула носить назву формули Томсона. Із змен­шен­ням індуктивності котушки L та ємності конденсатора С зменшується період коливань, а значить зростає їхня часто­та.

4.4.2. Вимушені електричні коливання, змінний струм

Р

Мал. 4.26.

озглянемо тепер електричні коливання, які виникають при наявності в колі генератора ЕРС, яка періодично зміню­ється.

Коло з активним (омічним) опором. Спочатку розглянемо час­­­тин­ний випадок, коли генератор змінного стру­му замкнений на зовнішнє коло, яке містить лише активний опір R (мал. 4.26). Припустимо, що в колі існує змін­ний струм:

I = I_msin t.

Застосовуючи закон Ома, визначимо, за яким законом зміню­єть­ся напруга на активному опорі

U = IR = I_mR sin t = U_msin t, U_m = I_mR. (4.72)

Мал. 4.27.

Мал. 4.28.

Ця рівність показує, що між коливаннями U та І немає зсуву фаз: напруга і струм одночасно досягають максимальних значень і одночасно перетворюються в нуль (мал. 4.27). Наочно це можна зобразити за допомогою векторної діагра­ми. Величини, які зміню­ють­ся за гармонічним законом (U та І), будемо розглядати як вектори, модуль яких дорівнює їхньому амплітудному значенню, а кут між ними – різниці фаз. Вісь діаграми виберемо так, щоб вектор І збігівся з нею за напрямком. Цю вісь називають віссю струмів. Тоді вектор, що зображає коливання напруги, буде направлений вздовж осі струмів (мал. 4.28). Довжина цього вектора U_m = = I_mR.

К

Мал. 4.29.

оло з індуктивністю. Розглянемо випадок, коли ді­лян­­ка кола містить лише індук­тив­­ність (мал. 4.29). Тоді за за­ко­­ном електромагнітної ін­дук­ції Фарадея електрору­шій­на си­­­­ла (ЕРС) індукції _i визна­ча­єть­­ся швидкістю зміни маг­­ніт­­­но­­го потоку Ф, тобто _i = –dФ/dt. У ви­пад­ку само­індук­ції магнітний по­тік Ф прямо пропорційний силі струму I, що тече по контуру, тобто Ф = LI, де L – індуктивність контура. Таким чином, при наявності змінного струму в кoтушці індуку­єть­ся ЕРС самоіндук­ції, величина якої дорівнює _is = – LdI/dt. Відповідно до закону Ома для повного кола сума всіх ЕРС за відсутності активного опору повинна дорів­ню­вати нулю, тобто LdI/dt = U_L.

Якщо сила струму в колі змінюється за законом I = , то для U_L отримуємо:

U_L = I_mLcos t = U_mLsin( t + /2), U_mL = I_mL. (4.73)

Порівнюючи відношення для амплітудних значень І_m та U_m із законом Ома, бачимо, що роль опору відіграє величина = L, яку називають індуктивним опором.

Т акож видно, що сила струму I та напруга U зсунуті за фазою одна відносно іншої (мал. 4.30) на величину  = /2, причому напруга в будь-який момент часу випереджає силу струму. На векторній діаграмі це зобразиться так, як показано на мал. 4.31.

Мал. 4.30.

Мал. 4.31.

Коло з ємністю. Розглянемо тре­тій частинний випадок, коли ді­лян­ка кола містить лише конденсатор єм­ності С (мал. 4.32). Як і ра­ніше, будемо вважати, що сила струму зміню­єть­­ся за законом I = I_m sint. Різниця потенці­алів між плас­ти­нами конденсатора U_C = q/C. Але ж сила струму I = dq/dt. Тоді

. (4.74)

Постійна інтегрування визначає заряд, який не пов’яза­ний з коливаннями струму, і тому можна покласти q₀ = 0. Отже,

U_С = – (І_m/C)cos t = U_mC sin( t – /2), (4.75)

де U_mC = І_m/ C.

П

Мал. 4.32.

орівнюючи (4.75) із законом Ома, бачимо, що роль опо­ру відіграє величина X_C = 1/C, яка називається ємнісним опором. Ємнісний опір зменшується із зростанням частоти. Бачимо також, що сила струму та напруга зсунуті по фазі на величину /2, причому сила струму в будь-який момент часу випереджає напругу (мал. 4.33).

О триманий результат зобразимо за допомогою векторної діаграми (мал. 4.34). Вектор, що відповідає коливанням напруги, повернений у від’ємному напрямі (за годинниковою стрілкою) на кут /2. Довжина вектора дорівнює амплі­ту­ді напруги I_m /C.

Мал. 4.33.

Мал. 4.34.