4.5.2. Рівняння Максвелла

Дж. К. Максвелл записав свої геніальні рівняння в 1865 р. Рівняння Максвелла – це фундаментальні рівняння електродинаміки, які описують електромагнітні явища в будь-якому середовищі. Вони узагальнюють експериментальні і теоретичні праці фізиків першої половини XІX ст. і, насамперед, дослідження М. Фарадея. Основні закони електродинаміки Максвелл сформулював у вигляді чотирьох рівнянь, які подамо в інтегральній формі, як в найбільш простій і наочній.

Перше рівняння Максвелла спирається на закон Біо–Савара–Лапласа та поняття струму зміщення. Виділимо в провіднику, в якому існує змінний струм, довільну площадку S, обмежену контуром l. Тоді

, (4.88)

де H_l – проекція вектора напруженості магнітного поля на напрям дотичної до контура l у даній точці, j_n – нормальна до вибраної площадки складова густини струму провідності, D_n – нормальна до площадки складова вектора електричної індукції. Тут вжита частинна похідна D/t, щоб врахувати факт залежності D як від часу, так і від просторової координати. Струм зміщення виникає лише тоді, коли D зміню­ється з часом. Це рівняння показує, що магнітне поле вихрове і що воно виникає незалежно від наявності постійних магнітів. Виникнення магнітного поля зумовлене двома факторами: рухом електричних зарядів (струм провідності) і зміною в часі електричного поля (струм зміщення).

Друге рівняння відображає закон електромагнітної індукції Фарадея:

_і = .

ЕРС, як відомо, дорівнює роботі сторонніх сил по переміщен­ню одиничного заряду, тобто , тому матимемо

= – Ф/t  = – dS, (4.89)

де E_l – проекція вектора напруженості електричного поля на напрям дотичної до контура у даній точці, B_n – нормальна до поверхні складова вектора магнітної індукції. З цього рівняння видно, що крім електростатичного поля в природі існує електричне поле, джерелом якого є змінне магнітне поле. Всяка зміна електричного поля зумовлює появу змінного магнітного поля, лінії напруженості якого замкнені і охоплюють лінії електричного поля (перше рівняння); всяка зміна магнітного поля зумовлює появу змінного електрич­ного поля, лінії напруженості якого замкнуті й охоплюють лінії магнітного поля (друге рівняння).

Третє рівняння Максвелла показує, що джерелом електричного поля є електричні заряди:

= q.

Ліва частина цього рівняння – потік вектора індукції електричного поля через замкнену поверхню площею S.

Четверте рівняння відображає факт відсутності маг­ніт­них зарядів. Повний потік вектора магнітної індукції В через замкнену поверхню площею S дорівнює нулю:

= 0.

Наведені рівняння Максвелла не враховують будову речовини і взаємодію електромагнітного поля з частинками речовини. Вплив середовища на електромагнітне поле задається через його електропровідність, а також діелектрич­ну  і магнітну  проникності. Тому до рівнянь Максвелла слід додати ще три рівняння, які називаються матеріаль­ни­ми:

,

,

j = E.

Рівняння Максвелла описують величезне коло явищ (електродинаміка, оптика, електротехніка, радіотехніка, астрофізика, фізика плазми тощo). Теорія Максвелла не тільки пояснила вже відомі факти, а й передбачила нові і важливі явища. Абсолютно новим у цій теорії було припущення Максвелла про магнітні поля струмів зміщення. На основі цього припущення Максвелл предбачив існування електромагнітних хвиль, тобто змінного електромагнітного поля, яке поширюється в просторі з певною швидкістю. Теоретичне дослідження властивостей електромагнітних хвиль привело згодом Максвелла до створення електромагнітної теорії світла. Пізніше експериментально вдалося отримати електромагнітні хвилі і провести досліди, які блискуче підтвердили електромагнітну теорію світла, а з нею і всю теорію Максвелла.