12.2 Межі придатності формули Ейлера. Формула Ясинського

Виведення формули Ейлера грунтується на законі Гука, який дійсний доти, поки напруження не перевищує межі пропорційності σ_пц. Для визначення меж застосування формули Ейлера знайдемо критичне напруження в стержні σ_кр,яке виникає під дією критичної сили. Розділивши F_кр на площу поперечного перерізу стержня А, одержимо

(12.12)

де і_тіп = — мінімальний радіус інерції поперечного перерізу стержня; λ — гнучкість стержня, безрозмірна величина. Формулою Ейлера мо­жна користуватися тільки тоді, коли

Отже,

(12.13)

Величину, яка стоїть у правій частині (12.13), називають граничною гнучкістю і позначають _гр. Так, для Ст3 маємо σ_пц = 200МПа, а E=2*10⁵МПа,

тоді

_гр=

Якщо гнучкість стержня менша від _гр , то формулами Ейлера (12.11) і (12.12) користуватись не можна. Так, для сталі Ст3 при гнучкостях 405≤ <100 критичне напруження визначається за емпіричною формулою Ясинського

(12.14)

де α=310 МПа, b = 1,14 МПа — коефіцієнти, які визначаються з дослідів.

При гнучкостях <40 за критичне напруження приймається σ_Т=240МПа.

Отже, для стержнів з матеріалу Ст3 з малою гнучкістю ( <40) σ_кр = σ_Т; з середньою гнучкістю (40≤ < 100) ; з великою гнучкістю ( ≥100) . Графік залежності σ_кр від для стержнів з маловуглецевої ста­лі Ст3 зображено на рис. 12.3.

Лекція 13 коливання систем з одним ступенем вільності

13.1 Основні поняття теорії коливань

Пружні системи, що зазнають коливань, поділяються за числом ступенів вільності. Числом ступенів вільності називається кількість незалежних коорди­нат, що визначають положення мас системи.

Наприклад, проста балка з прикріпленим до неї вантажем з масою т (рис. 13.1 а), вісь якої коливається у вертикальній площині, буде системою з одним ступенем вільності, коли масою балки можна нехтувати порівняно з масою ван­тажу. Положення вантажу при коливаннях визначається лише однією координатою — переміщенням у його центр ваги відносно положення рівноваги. Ана­логічно, балка з двома прикріпленими до неї вантажами з масами m₁, і m₂ (рис. 13.1 б), буде системою з двома ступенями вільності.

Залежно від характеру сил, що підтримують коливання, розрізняють вільні і вимушені коливання. Вільними називаються коливання, що відбуваються під дією одних лише сил пружності системи. У реальних умовах вільні коливання внаслідок дії сил опору поступово затухають і система приходить у стан спо­кою. Вимушені коливання відбуваються при активній дії зовнішніх сил, зде­більшого періодичних, які підтримують коливальний рух. Залежно від напрямку коливань відносно осі стержня розрізняють його поздовжні, поперечні і крутильні коливання.