13.2 Вільні коливання балки з одним ступенем вільності

Розглянемо вільні коливання системи з одним ступенем вільності, наприк­лад, невагомої балки з прикріпленим до неї вантажем вагою Р (рис.13.2 а). Під дією ваги Р балка зігнеться і вантаж зміститься вниз на величину

(13.1)

де с — жорсткість балки.

Приймемо координатну вісь ОY з початком у центрі ваги вантажу після його статичного переміщення. Якщо вантаж змістити вниз на величину у і по­тім відпустити, то він почне коливатися під дією пружної реакції балки віднос­но рівноважного положення О, яке він займав при статичній деформації балки.

Нехай у довільний момент часу t вантаж рухається вниз. На нього діє сила Р напрямлена вниз і сила пружної реакції балки F_пр напрямлена вгору (рис.13.2 б). За другим законом Ньютона

(13.2)

де .

Підставляючи (13.1) в (13.2), одержимо

(13.3)

Одержане рівняння — це диференціальне рівняння вільних коливань системи з одним ступенем вільності. Вводячи позначення

(13.4)

запишемо рівняння (13.3) у вигляді

(13.5)

Загальний розв'язок цього рівняння

(13.6)

де А, — довільні сталі інтегрування.

Це рівняння називається рівнянням вільних коливань системи. Графік цих коливань показаний на рис. 13.2, б.

Стала А, тобто величина найбільшого відхилення вантажу від рівноважного положення, називається амплітудою коливань, стала — їх початковою фазою. З рівняння (13.6) видно, що переміщення у повторюється через проміжок часу Т що називається періодом коливань i

(13.7)

Величина = 2 /Т, що є числом коливань системи за 2 секунд, назива­ється коловою частотою коливань.

На основі залежності (13.4) видно, що

(13.8)

і не залежить від початкових умов.

Враховуючи, що m=P/g і с = Р/ , можна колову частоту вільних коли­вань записати так

(13.9)

Формули (13.8), (13.9) справедливі як для поздовжніх, так і для крутильних вільних коливань систем з одним ступенем вільності.

13.3 Вимушені коливання систем з одним ступенем вільності

Сила, що викликає вимушені коливання, називається збурюючою силою. Нехай збурююча сила прикладена до системи в тому ж перерізі, де прикріпле­ний вантаж Р, і величина ЇЇ змінюється за законом

,

де H — найбільше значення збурюючої сили, — її колова частота.

Диференціальне рівняння вимушених коливань системи з одним ступенем вільності має вигляд

(13.10) (13.10)

Частковий розв'язок цього рівняння шукаємо у вигляді

. (13.11) (13.11)

Підставимо (13.1) в (13.10). Одержимо рівність

,

яка перетворюється на тотожність, коли

З останнього рівняння знаходимо

Одержану формулу для амплітуди вимушених коливань можна записати

(13.12)

де β називається коефіцієнтом зростання коливань і

. (13.13)

Коли , тобто при резонансі, коефіцієнт β, а разом з ним і амплітуда вимушених коливань необмежено зростають. У реальних умовах амплітуда ви­мушених коливань при резонансі не зростає необмежено внаслідок наявності сил опору.

Максимальне динамічне переміщення можна зобразити як суму стати­чного переміщення _ст від дії сили Р і амплітуди вимушених коливань

,

або

де к_д — динамічний коефіцієнт, що дорівнює

(13.14)

Оскільки в межах справедливості закону Гука напруження пропорційні деформаціям, то при вимушених коливаннях динамічне напруження σ_д дорів­нює

(13.15)

а умова міцності має вигляд

(13.16)