Стійкість стиснутих стержнів

11.3 Поняття про стійкі і нестійкі форми рівноваги

З теоретичної механіки відомо, що рівновага твердих тіл може бути стій­кою, нестійкою та байдужою. Так, на рис. 11.4 а, 11.4 б, 11.4 в положення рів­новаги кульки відповідно стійке, нестійке і байдуже. На відміну від форм рів­новаги абсолютно твердого тіла, які залежать лише від його положення, форми рівноваги реальних деформованих тіл залежать від їх матеріалу, форми, спів­відношення розмірів і величини прикладених сил.

Розглянемо рівновагу прямого стержня, який стискається силою F. До пе­вної величини стискаючої сили F стержень, відхилений від вертикального по­ложення силою Q, під дією внутрішніх сил повертається у початковий стан, якщо силу Q усунути; це означає, що його прямолінійна форма рівноваги є стійкою (рис. 11.5 а). Коли сила F досягає критичного значення, яке ми позна­чимо через F_кр, стержень, виведений із прямолінійної форми, може повернути­ся до неї, але може також залишитися злегка зігнутим, коли сила Q перестала діяти (рис. 11.5 б). Якщо F > F_кр , прямолінійна форма рівноваги не зберігаєть­ся, стержень сильно скривлюється і набуває нової, криволінійної форми рівно­ваги (рис. 11.5 в) або руйнується.

Отже, критичною силою для прямого стержня ми називаємо ту найменшу стискуючу силу F_min, прямолінійна форма рівноваги стержня стає не­стійкою.

При розрахунку на стійкість критична сила аналогічна руйнуючій при роз­рахунку на міцність. Щоб забезпечити стійкість, необхідно, щоб F

Тут

де - допустимий коефіцієнт запасу стійкості.

Лекція 12

12.1 Визначення критичної сили за формулою Ейлера

Для розрахунків стиснених стержнів на стійкість треба знати способи ви­значення критичної сили F^. Розглянемо стиск стержня силою F, величина якої трохи більше, ніж F_кр і стержень знаходиться у злегка зігнутому стані (рис. 12.1 а).

Диференціальне рівняння зігнутої осі стержня маг вигляд

(12.1)

Так як абсолютна величина згинального моменту

а знак прогину у і другої похідної у" завжди протилежні, то рівняння (12.1) мас вигляд

(12.2)

Зауважимо, що незалежно від того, куди зігнеться стержень: вліво (рис. 12.1 а) або вправо (рис. 12.1 б) і незалежно від вибору осі у, диференціальне рівняння завжди має вигляд (12.2).

Запишемо (12.2) у вигляді

=0

або

(12.3)

де

(12.4)

Загальний розв'язок цього однорідного лінійного диференціального рів­няння записується, як відомо, так:

(12.5)

Сталі інтегрування А і В визначаємо з граничних умов

y(0)=0; y(l)=0

З першої умови маємо

З другої умови одержуємо

(12.6)

Оскільки А≠0 (в протилежному разі не було б згину стержня, бо якщо A = 0 і B = 0, то у 0, а ми припустили, що стержень зігнувся), то

(12.7)

Визначаємо з (12.7) к і підставимо в (12.4), знаходимо

F= (12.8)

Найменше значення F=F_кр відмінне від нуля, одержимо з (12.8) при

I=I_min і n=1. Тоді

(12.9)

Формула (12.9) вперше була одержана Ейлером у 1744 р. і називається формулою Ейлера для критичної сили для стержня з шарнірним закріпленням кінців. Значенню F = F_кр відповідає зігнута вісь стержня у вигляді півхвилі синусоїди (рис. 12.1 а) з рівнянням

(12.10)

Найбільший прогин стержня у_тах = А при х=l/2. Отже, А — це найбіль­ший прогин посередині стержня.

З формули (12.9) видно, що F_кр пропорційна найменшій жорсткості стер­жня ЕІ_тіп, гак як очевидно, що прогин стержня відбувається завжди в площині найменшої жорсткості, яка перпендикулярна до осі z, відносно якої момент інерції поперечного перерізу стержня I_z = I_min. .

Для визначення критичної сили при інших способах закріплення кінців стержня треба знов інтегрувати рівняння (12.3) при відповідних граничних умовах. Наведемо формулу Ейлера без доведення для загального випадку

(12.11)

де µl — зведена довжина стержня, а µ — коефіцієнт зведення довжини, який залежить від способу кріплення кінців стержня. На рис. 12.2 зображено способи кріплення кінців стержня, які найчастіше застосовують, і наведено значення µ.