Частота затухающих колебаний

.

Период затухающих колебаний представляет собой промежуток времени между двумя последовательными прохождениями точки в одном направлении через положение покоя (рис. 3.19)

или ,

где - период свободных колебаний этой точки.

Амплитудой затухающих колебаний называют наибольшие отклонения точки в ту и другую сторону от положения покоя в течение каждого колебания.

Декрементом колебаний называется величина , равная отношению значения последующей амплитуды к предыдущей через полу-период.

Логарифмическим декрементом называется модуль натурального декремента колебаний, т. е. величина :

.

Таким образом, основное влияние сопротивления на свободные колебания материальной точки выражается в уменьшении амплитуды колебаний с течением времени, т. е. в затухании колебаний.

При n>k решение уравнения (3.4) имеет вид

.

При n=k общее решение уравнения (3.4) будет:

.

Таким образом в случае большого сопротивления движение материальной точки теряет колебательный характер и становится затухающим апериодическим.

  Задача 3.4. Груз веса 9,8 кН лежит на гладкой горизонтальной плоскости. Слева и справа он соединен с концами двух горизонтально расположенных пружин (рис. 3.20) с коэффициентами упругости с₁=4 Н/см, с₂=5 Н/см. В положении равновесия груза обе пружины не деформированы. Найти уравнение движения и период колебаний груза, если в начальный момент он был смещен из положения равновесия направо на 4 см и ему была сообщена направо начальная скорость 90 см/c.

Решение. Направим ось х по горизонтали направо, взяв начало отсчета в положении равновесия груза. Запишем начальные условия движе-

ния груза:

при .

Рис. 3.20

Изобразим груз в промежуточном положении, смещенным по отношению к началу отсчета направо на х, и представим, что он движется в сторону возрастания х, т.е. направо.

При этом правая пружина сжимается на х, и ее упругая сила направлена налево. Одновременно левая пружина растягивается на х и, следовательно, ее упругая сила также направлена налево, т.е.

.

Кроме двух восстанавливающих сил и к грузу приложен его вес и нормальная сила реакции гладкой плоскости.

Запишем дифференциальное уравнение движения материальной толчки в проекции на ось х. В данном случае получим

 

или . (3.6)

Как следует из дифференциального уравнения (3.6), обе пружины можно заменить одной эквивалентной пружиной, коэффициент упругости которой равен сумме коэффициентов упругости двух данных пружин, т.е. с=с₁+с₂. Запишем дифференциальное уравнение (3.6) в виде

 

, (3.7)

где

.

Решение уравнения (3.7) имеет вид

. (3.8)

Для определения постоянных интегрирования С₁ и С₂ вычислим:

 

. (3.9)

  Подставив в уравнение (3.8) t = 0, x = x_о, а в уравнение (3.9) t = 0, , получим:

.

Тогда уравнение (3.8) принимает вид

 

. (3.10)

Положим

, (3.11)

где а и  β - постоянные. Тогда уравнение (3.10) колебаний груза можно представить так:

. (3.12)

Амплитуда колебаний а и начальная фаза колебаний β определяются из системы уравнений (3.11):

: (3.13)

. (3.14)

Воспользовавшись численными значениями, получим из формулы (3.12):

;

из формулы (3.13): 

cм;

из формулы (3.14):

,

откуда

рад.

Итак, закон колебаний груза дается формулой

см,

причем период колебаний

c.

Задача 3.5. Под действием силы сопротивления R, пропорциональной первой скорости (R=av), тело массы m, подвешенное к пружине жесткости с, совершает затухающие колебания. Определить, во сколько раз период затухающих колебаний Т* превосходить период незатухающих колебаний Т, если отношение n/k = 0,1 (k² = c/m, n=a/(2m)).

Решение. Запишем математические зависимости определения периода свободных колебаний и периода свободных затухающих колебаний:

и .

Используя данные условий задачи, выразим k через n:

,

тогда период свободных колебаний определится по зависимости

.

Определяем период свободных затухающих колебаний

,

тогда

, откуда .