Глава 4. Теорема о движении центра масс
механической системы
4.1. Дифференциальные уравнения движения механической
системы
Для механической
системы, состоящей из п
материальных
точек
,
находящейся под действием внешних и
внутренних сил (рис. 3.32), можно составить
3п
совместных дифференциальных уравнений
движения:
.
Рис. 3.32
В проекциях на оси декартовых координат:
4.2. Теорема о движении центра масс механической системы
Центр масс механической системы движется как материальная точка массой, равной массе всей системы, к которой приложены все внешние силы, действующие на систему (рис. 3.33).
Рис. 3.33
,
где
-
главный вектор внешних сил;
-
ускорение центра масс.
Проецируя обе части векторного равенства на оси х, у, z, получаем три уравнения в проекциях на оси координат:
,
где
– проекции силы
;
–
проекции главного вектора сил
на оси координат.
Следствия из теоремы:
1. Если
,
то центр масс механической системы
движется равномерно и прямолинейно,
либо покоится.
2. Если проекция главного вектора внешних сил на какую-либо ось равна нулю, то проекция центра масс на эту ось либо покоится, либо движется равномерно.
Эти следствия выражают закон сохранения движения центра масс механической системы
Задача 3.9.
Центр масс вала мотора смещен от оси
вращения на величину АВ
= b.
Масса вала
,
а масса всех остальных частей мотора
.
Определить, по какому закону будет
двигаться мотор, поставленный на гладкую
горизонтальную плоскость, когда вал
вращается с постоянной угловой скоростью
.
Какое максимальное усилие будет
испытывать болт D,
если с его помощью неподвижно закрепить
мотор (рис. 3.34)?
Рис. 3.34
Решение.
Рассмотрим механическую систему,
состоящую из мотора и вала, как одну
систему. При незакрепленном моторе все
действующие на него силы (
и реакция плоскости) являются
вертикальными, поэтому имеет место
закон сохранения движения центра масс
вдоль оси Сх.
Изображаем мотор
в произвольном положении (рис. 3.34), считая
начальным то положение, когда точки В
и А
лежат на одной вертикали (на оси Оу).
Тогда в произвольном положении
.
Отсюда, учитывая, что
,
найдем
откуда
,
где
.
Следовательно, мотор будет совершать
гармонические колебания с круговой
частотой
.
Когда мотор
закреплен, горизонтальная реакция
болта будет
,
где
.
В этом случае точка
А
неподвижна и
(l
= const), а
.
В результате, дифференцируя выражение
и умножая его на т,
находим:
.
Сила давления на
болт равна по модулю
и направлена в противоположную сторону;
ее максимальное значение будет
.
Во избежание ударов мотора по болтам
при его работе, затяжка болтов Q
должна быть такой, чтобы суммарная сила
трения мотора о плоскость, на которой
он установлен, т.е.
,
была не меньше
.
Глава 5. Теоремы об изменении количества движения материальной точки и механической системы