1.5. Динамика несвободной материальной точки
Несвободной материальной точкой называется точка, на движение которой наложены связи.
Связь называется голономной, если она выражается или конечным соотношением между координатами точки, т. е. уравнением, не содержащим никаких производных от координат, или интегрируемым дифференциальным уравнением.
Если равенства, выражающие связи, не содержат явно время, их называют стационарными, а если в эти равенства явно входит время — нестационарными.
Для несвободной материальной точки основное уравнение динамики имеет вид (рис. 3.9)
.
Рис. 3.9
Спроецировав векторы обеих частей этого равенства на оси х,у,z, получим дифференциальные уравнения движения несвободной материальной точки М:
,
где X,
Y, Z - проекции
силы
на оси х, у,
z, a
- проекции нормальной реакции
на те же оси:
.
После определения
проекций
и обозначения
(множитель Лагранжа) получим
дифференциальные уравнения движения
несвободной материальной точки в форме
Лагранжа:
.
При движении
материальной точки по заданной негладкой
неподвижной поверхности реакция связи
имеет две составляющие: нормальную
реакцию
и силу трения
с модулем F
=fN,
направленную противоположно скорости
точки (рис. 3.10).
Тогда основное уравнение динамики для несвободной материальной точки имеет вид
.
Рис. 3.10
Ему соответствуют дифференциальные уравнения движения точки
Проекции силы трения на оси координат представим так:
;
.
Подставив в уравнения значения проекций нормальной реакции и силы трения , получим дифференциальные уравнения движения точки в следующем виде:
При движении точки
по заданной гладкой кривой линии следует
проецировать векторы уравнения не на
оси декартовых координат, а на естественные
координатные оси. При этом касательную
направляют в сторону возрастания другой
координаты
,
отсчитанной от произвольно выбранного
начала отсчета
,
а нормаль направляют к центру кривизны
траектории. Спроецировав все векторы
уравнения на соответствующие оси и
подставив в уравнения значения проекций
ускорения на касательную и нормаль,
получим следующие
уравнения (рис. 3.11):
.
Рис. 3.11
Полученные уравнения называют уравнениями движения несвободной точки в форме Эйлера.
1.6. Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки
Движение точки М относительно подвижной системы координат Охуz называется относительным, а относительно неподвижной системы координат Ωξηζ называется абсолютным (рис. 3.12).
Основное уравнение динамики для абсолютного движения точки М имеет вид
,
где
- абсолютное ускорение материальной
точки, а
-
геометрическая сумма приложенных к
точке сил.
Подставляя значение
в формулу и заменяя
,
Рис. 3.12
получим основное уравнение динамики относительного движения материальной точки.
,
где
- переносная сила инерции;
- кориолисова сила инерции.
Проецируя векторы уравнения на оси подвижной системы отсчета Охуz, получаем дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки:
Частные случаи относительного движения материальной точки:
1. Переносное движение — неравномерное вращение тела вокруг неподвижной оси (рис. 3.13). В этом случае переносное ускорение равно геометрической сумме вращательного и центростремительного ускорений
Рис. 3.13
,
где
.