2.5. Вынужденные колебания материальной точки без учета сопротивления среды

Вынужденные колебания совершает материальная точка, на которую наряду с восстанавливающей силой действует периодически изменяющаяся сила, называемая возмущающей силой (рис. 3.21)

Рис. 3.21

,

где Н – максимальный модуль или амплитуда возмущающей силы; р - частота изменения возмущающей силы, равная числу полных циклов изменения возмущающей силы за 2π с; pt+δ - фаза изменения возмущающей силы: δ- начальная фаза изменения возмущающей силы.

Период изменения возмущающей силы определяется по ее частоте:

.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид:

, (3.15)

где .

Общее решение уравнения (3.15) складывается из общего решения однородного уравнения и частного решения данного уравнения (3.15):

.

Однородное уравнение имеет общее решение:

.

Частное решение уравнения (3.15):

.

Общее решение уравнения (3.15) получит вид

или

.

Амплитуда вынужденных колебаний малой частоты (при р<k) имеет вид

.

Амплитуда вынужденных колебаний большой частоты (при р>k) имеет вид

.

Введем статическое отклонение точки М от начала координат О под действием постоянной силы Н (рис. 3.22).

Величина определяется из условия равновесия сил = :

,

откуда

.

Рис. 3.22

Отношение η амплитуды вынужденных колебаний A_В к величине называется коэффициентом динамичности:

при p<k

при p>k

При частоте возмущающей силы, близкой к частоте свободных колебаний точки ( ), наступает явление, называемое биениями.

Явление резонанса возникает при совпадении частот вынужденных и свободных колебаний точки (p = k).

2.6. Вынужденные колебания материальной точки с учетом сопротивления

Дифференциальное уравнение движения материальной точки М, совершающей прямолинейное движение под действием восстанавливающей силы , возмущающей силы , изменяющейся по гармоническому закону (рис. 3.23), и силы сопротивления имеет вид

или

, (а)

где

.

Рис. 3.23

Общее решение уравнения (а) состоит из общего решения ypaвнения и частного решения данного уравнения (а): . Частное решение уравнения (а) имеет вид

,

где - амплитуда вынужденных колебаний с учетом сопротивления, определяется по зависимости

,

- величина сдвига фазы вынужденных колебаний по отношению к фазе возмущающей силы:

;

Общее решение уравнения (а) в зависимости от соотношения величин k и n имеет вид:

1) при n < k

2) при n > k

3) при n = k

.

Величины A и β в уравнениях, а также С₁ и С₂ в уравнении являются постоянными интегрирования и определяются по начальным условиям движения.

Влияние сопротивления на вынужденные колебания материальной точки выражается в сдвиге фазы колебаний относительно фазы возмущающей силы и в уменьшении амплитуды колебаний по мере увеличения сопротивления.

Задача 3.6. Балка, на которой установлен мотор, прогибается от его веса на (рис. 3.24). При каком числе оборотов вала мотора в минуту наступит резонанс?

Рис. 3.24

Решение. Резонанс колебаний может наступить при равенстве периода свободных колебаний и периода вынужденных колебаний, т.е. при

.

Период свободных колебаний Т балки определяется по зависимости:

.

Если центр тяжести с вала мотора смещен от оси О, то на мотор будет действовать передаваемая через подшипники вала сила , направленная вдоль оси Ос. Проекция силы на ось Ох, равная (ω – угловая скорость вала), и будет возмущающей силой, действующей на мотор, частота этой силы р = ω, следовательно, период вынужденных колебаний будет

.

Приравниваем Т и Т_В и находим критическую угловую скорость:

, .

Отсюда находим критическое число оборотов по зависимости

.

  Задача 3.7. Пневматический отбойный молоток приводится в движение сжатым воздухом, поступающим в корпус молотка через шланг А. Давление воздуха, приложенное к поршню D молотка, изменяется согласно уравнению , где p, H_о, H₁ и H₃ - постоянные величины. В корпус молотка вмонтирована пружина В с коэффициентом жесткости с. Пружина упирается левым концом в поршень, а правым - в корпус молотка. Поршень D соединен штоком Е с бойком М. Написать уравнение вынужденных колебаний поршня при работе молотка вхолостую. Массой штока Е, бойка М и пружины В, а также силой сопротивления давлению пренебречь (рис. 3.25).

Рис. 3.25

Решение. Направим ось х по горизонтали направо, взяв начало отсчета в положении статического равновесия поршня под действием силы и упругой силы пружины . В этом положении пружина сжата на  Δ_ст  силой . При этом возникает упругая сила пружины . Обе силы направлены по горизонтали: - направо, а - налево. Запишем условия равновесия поршня в проекции на ось х

. (а)

Изобразим поршень смещенным из нуля направо на х. При этом пружина сжата на   и возникшая в ней упругая сила направлена по горизонтали налево. Ее проекция на ось х равна

. (б)

Кроме того, к поршню приложены следующие силы: - его вес, - нормальная сила реакции корпуса, - сила давления сжатого воздуха. Составим дифференциальное уравнение движения поршня D в проекции на ось х:

  .

Учитывая формулу (б) и заданный закон изменения силы , находим:

.

Принимая во внимание формулу (а), запишем дифференциальное уравнение вынужденных колебаний поршня в виде

, (в)

где 

; ; .

Для определения закона вынужденных колебаний поршня следует найти частное решение уравнения (в). Принимая во внимание правую часть этого уравнения, ищем частное решение в виде

, (г)

где A₁, B₁, A₃, B₃ - постоянные коэффициенты, подлежащие определению.

Для отыскания A₁, B₁, A₃, B₃ вычислим:

;

.

Подставив в дифференциальное уравнение (в) и приравняв коэффициенты, стоящие в левой и правой частях уравнения при синусе и косинусе, находим:

Решив эту систему уравнений, имеем:

.

Подставив значения A₁, B₁, A₃, B₃ в уравнение (г), находим искомое уравнение вынужденных колебаний поршня:

.

В случае k = p наступают резонансные колебания первого порядка. В случае k = 3p наступают резонансные колебания третьего порядка. Так как , то подбор коэффициента упругости пружины с следует производить так, чтобы обеспечить выполнение неравенств и . При этом поршень не будет попадать в резонанс.