1.4. Вторая (обратная) задача динамики
Зная силы, действующие на материальную точку, ее массу т, а также начальное положение точки и ее начальную скорость, получить уравнения движения точки.
(а)
Для решения этой задачи необходимо в левую часть уравнений (а) подставить значение массы т, а в правую часть - суммы проекций приложенных к точке сил и полученные уравнения дважды проинтегрировать по времени (t).
Значения постоянных
интегрирования определяют по начальным
условиям движения: значениям трех
координат точки (x,y,z),
проекций eе
скорости на три оси (
)
в некоторый момент времени (t),
обычно (но не обязательно) в начальный
момент.
Вторую основную задачу динамики материальной точки рекомендуется решать в следующем порядке.
1. Составление расчетной схемы:
- выбор и изображение системы координат;
- изображение на рисунке в текущем положении точки, действующих на нее сил и сил реакций связей.
2. Выявление начальных условий движения точки.
3. Составление дифференциальных уравнений движения материальной точки:
.
4. Интегрирование дифференциальных уравнений движения.
5. Определение постоянных интегрирования при использовании начальных условий движения.
6. Нахождение искомых величин и оценка полученных результатов.
Задача 3.2. За какое время и на каком расстоянии может быть остановлен тормозом автомобиль, идущий по горизонтальному пути со скоростью 10 м/с, если сопротивление движению, развиваемое при торможении, составляет 0,3 веса автомобиля (рис. 3.6).
Рис. 3.6
Решение. За
ось координат примем ось х,
направленную вдоль пути торможения
автомобиля. Начальными условиями будут:
;
;
м/с.
Задаваемые силы – вес автомобиля
и сила сопротивления движению
.
Дифференциальное уравнение движения
автомобиля будет иметь вид:
.
Интегрируем это уравнение дважды и получаем:
.
(а)
По начальным условиям находим постоянные интегрирования С1 и С2:
.
Тогда
.
По условию задачи
требуется найти время остановки
автомобиля, т.е. при v=0
(
).
Из первого уравнения находим это время:
с.
Подставляя значения переменных в уравнение движения автомобиля (а), находим путь, пройденный автомобилем до полной остановки:
м.
Задача 3.3. В
железнодорожных скальных выемках для
защиты кюветов от попадания в них с
откосов каменных осыпей устраивается
«полка» DC.
Учитывая возможность движения камня
из наивысшей точки А
откоса и полагая при этом его начальную
скорость
,
определить наименьшую ширину полки b
и скорость
,
с которой камень падает на нее. По
участку АВ
откоса, составляющему угол α
с горизонтом и имеющему длину l,
камень движется τ
с. Коэффициент
трения скольжения f
камня на участке АВ
считать постоянным, а сопротивлением
воздуха пренебречь. Дано:
.
Определить b
и
(рис. 3.7).
Рис. 3.7
Решение. Задачу разделим на два этапа. Первый – движение камня на участке АВ, второй – движение камня от точки В до С.
Первый
этап. 1.
Составление расчетной схемы. Ось
проводим по направлению движения камня,
ось
- перпендикулярно к оси
.
Камень принимаем за материальную точку
и показываем ее в текущем положении,
изображаем
действующие на камень (точку) силы: вес
,
нормальную реакцию
и силу трения скольжения
(рис. 3.8).
2. Выявление
начальных условий. При
.
Рис. 3.8
3. Составление дифференциальных уравнений движения точки. Так как точка (камень) движется прямолинейно, то при направлении оси х вдоль траектории получим одно дифференциальное уравнение движения
;
сила трения
,
тогда
;
;
.
4. Интегрирование дифференциальных уравнений движения. Интегрируя дифференциальное уравнение дважды, получаем:
;
;
;
;
;
;
.
5. Определение
постоянных интегрирования. Подставим
начальные условия, т.е.
в уравнения:
;
;
.
6. Нахождение неизвестных величин и исследование полученных результатов. После подстановки постоянных интегрирования С1 и С2 получаем уравнение скорости и уравнение движения:
;
.
Для момента времени τ, когда камень покидает участок АВ,
,
т.е.
;
.
Умножим первое уравнение на τ/2, после этого разделим его на второе. В результате получим:
;
;
.
Второй этап: движение камня от точки В до точки С.
1. Составление расчетной схемы. Координатные оси покажем так, как это удобно для решения задачи, в нашем случае ось х параллельна горизонтали и проходит через точку В, ось у направляем вниз через точку В. Камень принимаем за материальную точку, показываем ее в текущем положении, изображаем действующую на камень силу тяжести (рис. 3.8).
2. Выявление
начальных условий движения. При
:
.
3. Составление дифференциальных уравнений движения. Так как движение точки происходит в плоскости ху, то число уравнений движения равно двум:
.
4. Интегрирование дифференциальных уравнений движения. Интегрируем дифференциальные уравнения дважды:
(a)
;
(б)
(в)
.
(г)
5. Определение
постоянных интегрирования. Подставляем
начальные условия:
в уравнения (а – г):
,
откуда
.
6. Нахождение искомых величин и исследование полученных результатов. После подстановки постоянных интегрирования в уравнения (а –г) получаем следующие уравнения проекций скорости камня:
и уравнения его движения
.
Уравнение траектории камня найдем, исключив параметр t из уравнений движения:
;
– уравнение
параболы.
В момент падения
.
Определим d
из уравнения траектории:
;
;
.
Так как траекторией движения камня является ветвь параболы с положительными абсциссами ее точек, то d=2,11 м.
Минимальная ширина полки
.
Используя уравнение
движения камня
,
найдем время Т
движения камня от точки В
до точки С
.
Скорость камня при падении найдем через проекции скорости на оси координат:
по формуле
.
Для момента падения t=T=0,53 c
.
Скорость камня при падении равна 12,8 м/с.